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在物理學中，以威廉·羅文·漢密爾頓和卡爾·古斯塔夫·雅各布·雅可比命名的哈密頓-雅可比方法是經典力學的替代公式，等同于牛頓運動定律、拉格朗日力學和哈密頓力學等其他公式。 哈密頓-雅可比方程序在確定機械系統的守恒量方面特別有用，即使機械問題本身無法完全解決，這也是可能的。

哈密頓-雅可比方也是xxx一個可以將粒子的運動表示為波的力學公式。 從這個意義上說，它實現了理論物理學的一個長期目標（至少可以追溯到 18 世紀的約翰·伯努利），即找到光的傳播與粒子運動之間的類比。 機械系統遵循的波動方程與薛定諤方程相似，但不完全相同，如下所述； 出于這個原因，哈密頓-雅可比方程序被認為是經典力學最接近量子力學的方法。

在數學中，哈密頓-雅可比方是變分法問題推廣中描述極值幾何的必要條件。 可以理解為動態規劃中Hamilton-Jacobi-Bellman方程的特例。

粗體字變量，例如 q {\displaystyle \mathbf {q} } 表示 N {\displaystyle N} 廣義坐標的列表，

q = ( q 1 , q 2 , … , q N ? 1 , q N ) {\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N-1 },q_{N})}

變量或列表上的點表示時間導數（參見牛頓符號）。 例如，

q ˙ = d q d t 。 {\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}={\frac {d\mathbf {q} }{dt}}。}

坐標數相同的兩個列表之間的點積表示法是對應分量乘積之和的簡寫，如

p ? q = ∑ k = 1 N p k q k 。 {\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {q} =\sum _{k=1}{N}p_{k}q_{k}。}

讓 Hessian 矩陣 H L ( q , q ˙ , t ) = { ? 2 L / ? q ˙ i ? q ˙ j } i j {\textstyle H_{\cal {L}}(\mathbf {q} , \mathbf {\dot {q}} ,t)=\left\{\partial {2}{\cal {L}}/\partial {\dot {q}}{i} \partial {\dot {q}}{j}\right\}_{ij}} 是可逆的。 關系

d d t ? L ? q ˙ i = ∑ j = 1 n ( ? 2 L ? q ˙ i ? q ˙ j q ¨ j + ? 2 L ? q ˙ i ? q j q ˙ j ) + ? 2 L ? q ˙ i ? t , i = 1 , … , n , {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {\dot { q}}{i}}}=\sum _{j=1}{n}\left({\frac {\partial {2}{\cal {L}}}{\partial { \dot {q}}{i}\partial {\dot {q}}{j}}}{\ddot {q}}{j}+{\frac {\partial {2}{ \cal {L}}}{\partial {\dot {q}}{i}\partial {q}{j}}}{\dot {q}}{j}\right)+ {\frac {\partial {2}{\cal {L}}}{\partial {\dot {q}}{i}\partial t}},\qquad i=1, ldots ,n,}

表明歐拉-拉格朗日方程構成了一個 n × n {\displaystyle n\times n} 二階常微分方程組。 反轉矩陣 H L {\displaystyle H_{\cal {L}}} 將這個系統轉換為

q ¨ i = F i ( q , q ˙ , t ) , i = 1 , … , n 。 {\displaystyle {\ddot {q}}{i}=F_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t),\ i=1, ldots,n.}

令配置空間中的時刻 t 0 {\displaystyle t_{0}} 和點 q 0 ∈ M {\displaystyle \mathbf {q} _{0}\in M} 固定。 存在xxx性定理保證，對于每個 v 0 ， {\displaystyle \mathbf {v} _{0},} 條件為 γ | 的初始值問題 τ = t 0 = q 0 {\displaystyle \gamma |_{\tau =t_{0}}=\mathbf {q} _{0}} 和 γ ˙ | τ = t 0 = v 0 {\displaystyle {\dot {\gamma }}|_{\tau =t_{0}}=\mathbf {v} _{0}} 有局部xxx解 γ = γ ( τ ; t 0 , q 0 , v 0 ) 。 {\displaystyle \gamma =\gamma (\tau ;t_{0},\mathbf {q} _{0},\mathbf {v} _{0}).} 另外，讓有 足夠小的時間間隔 ( t 0 , t 1 ) {\displaystyle (t_{0},t_{1})} 使得具有不同初始速度 v 0 {\displaystyle \mathbf {v} _{0 }} 不會在 M × ( t 0 , t 1 ) 中相交。 {\displaystyle M\times (t_{0},t_{1}).} 后者意味著，對于任何 q ∈ M {\displaystyle \mathbf {q} \in M} 和任何 t ∈ ( t 0 , t 1 ) , {\displaystyle t\in (t_{0},t_{1}),} 至多有一個極值 γ = γ ( τ ; t , t 0 , q , q 0 ) {\displaystyle \gamma =\gamma (\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0})} 其中 γ | τ = t 0 = q 0 {\displaystyle \gamma |_{\tau =t_{0}}=\mathbf {q} _{0}} 和 γ | τ = t = q 。