在微分幾何這一數學學科中，辛流形是一個光滑流形 M {\displaystyle M} ，配備了一個封閉的非退化微分 2-形式 ω {\displaystyle \omega } ，稱為辛形式。 辛流形的研究稱為辛幾何或辛拓撲。 辛流形作為流形的余切叢自然地出現在經典力學和分析力學的抽象公式中。 例如，在為該領域提供主要動機之一的經典力學哈密頓公式中，系統所有可能配置的集合被建模為流形，并且該流形的余切束描述了相空間 系統。

辛流形源于經典力學； 特別是，它們是封閉系統相空間的推廣。 以同樣的方式，哈密頓方程允許人們從一組微分方程中推導出系統的時間演化，辛形式應該允許人們從哈密頓函數 H 的微分 dH 中獲得描述系統流動的矢量場 . 所以我們需要一個從切流形 TM 到余切流形 T?M 的線性映射 TM → T?M，或者等價地，一個 T?M ? T?M 的元素。 令 ω 表示 T?M ? T?M 的一部分，ω 是非退化的要求確保對于每個微分 dH 都有一個xxx的對應矢量場 VH 使得 dH = ω(VH, · )。 由于人們希望哈密頓量沿流線恒定，因此應該有 dH(VH) = ω(VH, VH) = 0，這意味著 ω 是交替的，因此是 2-形式。 最后，提出了 ω 不應在流線下變化的要求，即 ω 沿 VH 的李導數消失。 應用嘉當公式，這相當于（這里 ι X {\displaystyle \iota _{X}} 是內積）：

L V H ( ω ) = 0 ? d ( ι V H ω ) + ι V H d ω = d ( d H ) + d ω ( V H ) = d ω ( V H ) = 0 {\displaystyle {\mathcal {L}} _{V_{H}}(\omega )=0\;\Leftrightarrow \;\mathrm {d} (\iota _{V_{H}}\omega )+\iota _{ V_{H}}\mathrm {d} \omega =\mathrm {d} (\mathrm {d} \,H)+\mathrm {d} \omega (V_{H})= \mathrm {d} \omega (V_{H})=0}

因此，在對不同的平滑函數 H {\displaystyle H} 重復這個論點時，相應的 V H {\displaystyle V_{H}} 跨越應用論點的每個點的切線空間，我們看到要求 對于沿著 V H {\displaystyle V_{H}} 的流消失的李導數對應于任意光滑的 H {\displaystyle H} 等價于 ω 應該關閉的要求。

光滑流形 M {\displaystyle M} 上的辛形式是封閉非退化微分 2-形式 ω {\displaystyle \omega } 。 這里，非退化意味著對于每個點 p ∈ M {\displaystyle p\in M} ，切線空間 T p M {\displaystyle T_{p}M} 上的斜對稱配對由 ω { \displaystyle \omega } 是非退化的。 也就是說，如果存在一個 X ∈ T p M {\displaystyle X\in T_{p}M} 使得 ω ( X , Y ) = 0 {\displaystyle \omega (X,Y) =0} 對于所有 Y ∈ T p M {\displaystyle Y\in T_{p}M} ，則 X = 0 {\displaystyle X=0} 。 由于在奇數維度上，斜對稱矩陣總是奇異的，ω {\displaystyle \omega } 是非退化的要求意味著 M {\displaystyle M} 具有偶數維度。 封閉條件意味著 ω {\displaystyle \omega } 的外導數消失了。 辛流形是一對 ( M , ω ) {\displaystyle (M,\omega )}，其中 M {\displaystyle M} 是光滑流形，ω {\displaystyle \omega } 是辛形式。 為 M {\displaystyle M} 分配一個辛形式被稱為給 M {\displaystyle M} 一個辛結構。

讓 { v 1 , … , v 2 n } {\displaystyle \{v_{1},\ldots ,v_{2n}\}} 成為 R 2 n 的基礎。 {\displaystyle \mathbb {R} {2n}.} 我們在此基礎上定義辛形式 ω 如下：

ω ( v i , v j ) = { 1 j ? i = n with 1 ? i ? n ? 1 i ? j = n with 1 ? j ? n 0 否則 {\displaystyle \omega (v_{i},v_{ j})={\begin{cases}1&j-i=n{\text{ with }}1\leqslant i\leqslant n\\-1&i-j=n{\text{ with } }1\leqslant j\leqslant n\\0&{\text{否則}}\end{cases}}}

在這種情況下，辛形式簡化為簡單的二次形式。 如果 In 表示 n × n 單位矩陣，則此二次形式的矩陣 Ω 由 2n × 2n 分塊矩陣給出：

Ω = ( 0 I n ? I n 0 ) 。 {\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{pmatrix}}。}

設 Q {\displaystyle Q} 是維度為 n {\displaystyle n} 的光滑流形。 那么余切叢 T ? Q {\displaystyle T{*}Q} 的總空間有一個自然的辛形式。