在數學中，特別是在辛幾何中，動量圖（或者，根據錯誤的詞源，矩圖）是一種與李群在辛流形上的哈密頓作用相關的工具，用于構造作用的守恒量。 動量圖概括了線性動量和角動量的經典概念。 它是各種構造辛流形的重要組成部分，包括辛 (Marsden–Weinstein) 商，如下所述，以及辛割和辛求和。

令 M 為具有辛形式 ω 的流形。 假設李群 G 通過辛同胚作用于 M（即，G 中每個 g 的作用保持 ω）。 令 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 是 G 的李代數， g ? {\displaystyle {\mathfrak {g}}{*}} 它的對偶，并且

? , ? : g ? × g → R {\displaystyle \langle ,\rangle :{\mathfrak {g}}{*}\times {\mathfrak {g}}\to \mathbf {R} }

兩者之間的配對。 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 中的任何 ξ 都會在 M 上產生一個矢量場 ρ(ξ) 來描述 ξ 的無窮小作用。 準確地說，在 M 中的點 x 處，向量 ρ ( ξ ) x {\displaystyle \rho (\xi )_{x}} 是

d d t | t = 0 exp ? ( t ξ ) ? x , {\displaystyle \left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\exp(t\xi ) \cdot x,}

其中 exp : g → G {\displaystyle \exp :{\mathfrak {g}}\to G} 是指數映射，而 ? {\displaystyle \cdot } 表示 M 上的 G 作用。設 ι ρ ( ξ ) ω {\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\omega \,} 表示這個矢量場與 ω 的收縮。 因為 G 通過辛同胚作用，所以 ι ρ ( ξ ) ω {\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\omega \,} 是閉集（對于 g { displaystyle {\mathfrak {g}}} ）。

假設 ι ρ ( ξ ) ω {\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\omega \,} 不僅是封閉的而且是精確的，因此 ι ρ ( ξ ) ω = d H ξ {\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\omega =dH_{\xi }} 對于某些函數 H ξ {\displaystyle H_{\xi }} 。 還假設映射 g → C ∞ ( M ) {\displaystyle {\mathfrak {g}}\到 C{\infty }(M)} 發送 ξ ? H ξ {\displaystyle \xi mapsto H_{\xi }} 是一個李代數同態。 那么 (M, ω) 上 G 動作的動量圖是一個映射 μ : M → g ? {\displaystyle \mu :M\to {\mathfrak {g}}{*}} 這樣

d ( ? μ , ξ ? ) = ι ρ ( ξ ) ω {\displaystyle d(\langle \mu ,\xi \rangle )=\iota _{\rho (\xi )} \歐米茄}

對于 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 中的所有 ξ。 這里 ? μ , ξ ? {\displaystyle \langle \mu ,\xi \rangle } 是從 M 到 R 的函數，由 ? μ , ξ ? ( x ) = ? μ ( x ) , ξ ? {\displaystyle \langle \mu ,\xi \rangle (x)=\langle \mu (x),\xi \rangle } 。 動量圖被xxx地定義為積分的附加常數。

通常還要求動量圖是 G 等變的，其中 G 通過余伴隨作用作用于 g ? {\displaystyle {\mathfrak {g}}{*}}。 如果群是緊群或半單群，那么總是可以選擇積分常數來使動量圖余伴等變。 然而，通常必須修改共伴作用以使映射等變（例如歐幾里德群就是這種情況）。 正如 Souriau (1970) 首次描述的那樣，修改是通過在 g ? {\displaystyle {\mathfrak {g}}{*}} 中的值的群上的 1-余循環進行的。

動量圖的定義要求 ι ρ ( ξ ) ω {\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\omega } 是封閉的。 在實踐中，做出更強有力的假設是有用的。 當且僅當滿足以下條件時，G 作用才被稱為哈密頓量。 首先，對于 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 中的每個 ξ，單形式 ι ρ ( ξ ) ω {\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\ omega } 是精確的，意味著它等于 d H ξ {\displaystyle dH_{\xi }} 對于一些平滑函數

H ξ : M → R 。 {\displaystyle H_{\xi }:M\to \mathbf {R} .}

如果這成立，那么可以選擇 H ξ {\displaystyle H_{\xi }} 使映射 ξ ? H ξ {\displaystyle \xi \mapsto H_{\xi }} 線性化。 G 作用是哈密頓量的第二個要求是映射 ξ ? H ξ {\displaystyle \xi \mapsto H_{\xi }} 是來自 g {\displaystyle {\ mathfrak {g}}} 到 M 上泊松括號下的光滑函數的代數。

如果 G 對 (M, ω) 的作用在這個意義上是哈密頓量，那么動量圖就是一個映射 μ : M → g ? {\displaystyle \mu :M\to {\mathfrak {g}} {*}} 這樣寫 H ξ = ? μ , ξ ? {\displaystyle H_{\xi }=\langle \mu ,\xi \rangle } 定義李代數同態 ξ ? H ξ { \displaystyle \xi \mapsto H_{\xi }} 滿足 ρ ( ξ ) = X H ξ {\displaystyle \rho (\xi )=X_{H_{\xi }}} 。 這里 X H ξ {\displaystyle X_{H_{\xi }}} 是哈密頓量 H ξ {\displaystyle H_{\xi }} 的矢量場，定義為

ι X H ξ ω = d H ξ 。 {\displaystyle \iota _{X_{H_{\xi }}}\omega =dH_{\xi }.}