達朗貝爾原理，也稱為拉格朗日-達朗貝爾原理，是對基本經典運動定律的陳述。 它以其發現者、法國物理學家和數學家讓·勒朗·達朗貝爾的名字命名。 達朗貝爾原理通過引入慣性力將虛功原理從靜態系統推廣到動態系統，當將慣性力添加到系統中的作用力時，會導致動態平衡。

該原理不適用于不可逆位移，例如滑動摩擦，需要對不可逆性進行更一般的說明。 達朗貝爾原理比哈密頓原理更普遍，因為它不限于僅依賴于坐標和時間而不依賴于速度的完整約束。

該原理指出，作用在大質量粒子系統上的力與系統本身的動量的時間導數之間的差異之和投射到與系統約束一致的任何虛擬位移上為零。 因此，在數學符號中，d'Alembert's principle 寫成如下， (\mathbf {F} _{i}-m_{i}{\dot {\mathbf {v} }}_{i}-{\dot {m}}_{i}\mathbf { v} _{i})\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0,}

在哪里：

• i {\displaystyle i} 是一個整數，用于指示（通過下標）對應于系統中特定粒子的變量，
• F i {\displaystyle \mathbf {F} _{i}} 是第 i {\displaystyle i} 個粒子上的總作用力（不包括約束力），
• m i {\displaystyle m_{i}} 是第 i {\displaystyle i} 個粒子的質量，
• v i {\displaystyle \mathbf {v} _{i}} 是第 i {\displaystyle i} 個粒子的速度，
• δ r i {\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}} 是第 i {\displaystyle i} 個粒子的虛擬位移，符合約束條件。

牛頓的點符號用于表示相對于時間的導數。 上面的方程通常被稱為達朗貝爾原理，但它最初是由約瑟夫·路易斯·拉格朗日以這種變分形式寫成的。 達朗貝爾的貢獻是證明在一個動態系統的整體中，約束力消失了。 也就是說廣義力 Q j {\displaystyle \mathbf {Q} _{j}} 不需要包括約束力。 相當于比較麻煩的高斯最小約束原理。

達朗貝爾原理的一般性陳述提到了系統動量的時間導數。 根據牛頓第二定律，動量的一階時間導數就是力。 第 i {\displaystyle i} 個質量的動量是其質量和速度的乘積： p i = m i v i {\displaystyle \mathbf {p} _{i}=m_{i}\mathbf {v } _{i}} 其時間導數為 p ˙ i = m ˙ i v i + m i v ˙ i 。 {\displaystyle {\dot {\mathbf {p} }}_{i}={\dot {m}}_{i}\mathbf {v} _{i}+m_{i}{ \點 {\mathbf {v} }}_{i}.}

在許多應用中，質量是恒定的，這個等式簡化為 p ˙ i = m i v ˙ i = m i a i 。 {\displaystyle {\dot {\mathbf {p} }}_{i}=m_{i}{\dot {\mathbf {v} }}_{i}=m_{i}\ mathbf {a} _{i}.}

然而，一些應用涉及改變質量（例如，鏈條被卷起或被展開）并且在這些情況下這兩項 m ˙ i v i {\displaystyle {\dot {m}}_{i}\mathbf {v} _{i}} 和 m i v ˙ i {\displaystyle m_{i}{\dot {\mathbf {v} }}_{i}} 必須保持存在，給出 ∑ i ( F i ? m i a i ? m ˙ i v i ) ? δ r i = 0. {\displaystyle \sum _{i}(\mathbf {F} _{i}-m_{i}\mathbf {a} _{i}-{\ 點 {m}}_{i}\mathbf {v} _{i})\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0.}

考慮質量恒定的粒子系統 i {\displaystyle i} 的牛頓定律。 每個粒子的總力為 F i ( T ) = m i a i , {\displaystyle \mathbf {F} _{i}{(T)}=m_{i}\mathbf {a} _{i}, } 在哪里

• F i ( T ) {\displaystyle \mathbf {F} _{i}{(T)}} 是作用在系統粒子上的總力，
• m i a i {\displaystyle m_{i}\mathbf {a} _{i}} 是由總力產生的慣性力。

將慣性力向左移動給出了一個可以被認為代表準靜態平衡的表達式，但它實際上只是牛頓定律的一個小代數運算：F i ( T ) ? m i a i = 0 。 {\displaystyle \mathbf {F} _{i}{(T)}-m_{i}\mathbf {a} _{i}=\mathbf {0} .}

考慮虛功 δ W {\displaystyle \delta W} ，由總力和慣性力一起通過任意虛位移完成， δ r i {\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i} } ，系統導致零身份，因為每個粒子所涉及的力總和為零。