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在數學和經典力學中，規范坐標是相空間上的一組坐標，可用于描述任何給定時間點的物理系統。 正則坐標用于經典力學的哈密頓公式。 一個密切相關的概念也出現在量子力學中； 有關詳細信息，請參閱 Stone–von Neumann 定理和規范換向關系。

由于哈密頓力學通過辛幾何得到推廣，正則變換通過接觸變換得到推廣，因此 19 世紀經典力學中正則坐標的定義可以推廣到 20 世紀更抽象的流形余切叢上的坐標定義（數學 相空間的概念）。

在經典力學中，正則坐標是相空間中的坐標 q i {\displaystyle q{i}} 和 p i {\displaystyle p_{i}} ，用于哈密頓形式。 規范坐標滿足基本的泊松括號關系：

{ q i , q j } = 0 { p i , p j } = 0 { q i , p j } = δ i j {\displaystyle \left\{q{i},q{j}\right\}=0 qquad \left\{p_{i},p_{j}\right\}=0\qquad \left\{q{i},p_{j}\right\}= \三角洲_{ij}}

規范坐標的一個典型例子是 q i {\displaystyle q{i}} 是通常的笛卡爾坐標，而 p i {\displaystyle p_{i}} 是動量的分量。 因此一般來說， p i {\displaystyle p_{i}} 坐標被稱為共軛動量。

正則坐標可以從拉格朗日形式的廣義坐標通過勒讓德變換得到，或者從另一組正則坐標通過正則變換得到。

正則坐標被定義為流形余切叢上的一組特殊坐標。 它們通常寫成一組 ( q i , p j ) {\displaystyle \left(q{i},p_{j}\right)} 或 ( x i , p j ) {\displaystyle \left(x {i},p_{j}\right)} 其中 x's 或 q's 表示基礎流形上的坐標，p's 表示共軛動量，它們是流形中點 q 處的余切叢中的 1-形式。

正則坐標的一個常見定義是余切叢上的任何一組坐標，它允許正則單形式寫成以下形式

∑ i p i d q i {\displaystyle \sum _{i}p_{i}\,\mathrm {d} q{i}}

直至全差。 保留這種形式的坐標變化是規范變換； 這些是辛同胚的特例，本質上是辛流形上坐標的變化。

在下面的說明中，我們假設流形是實流形，因此作用于切向量的余切向量產生實數。

給定流形 Q，Q（切叢 TQ 的一部分）上的矢量場 X 可以被認為是作用于余切叢的函數，通過切線空間和余切空間之間的對偶性。 即定義一個函數

P X : T ? Q → R {\displaystyle P_{X}:T{*}Q\to \mathbb {R} }

這樣

P X ( q , p ) = p ( X q ) {\displaystyle P_{X}(q,p)=p(X_{q})}

對 T q ? Q {\displaystyle T_{q}{*}Q} 中的所有余切向量 p 成立。 這里，X q {\displaystyle X_{q}} 是 T q Q {\displaystyle T_{q}Q} 中的一個向量，流形 Q 在點 q 的切空間。 函數 P X {\displaystyle P_{X}} 稱為對應于 X 的動量函數。

在局部坐標系中，點 q 處的矢量場 X 可寫為

X q = ∑ i X i ( q ) ? ? q i {\displaystyle X_{q}=\sum _{i}X{i}(q){\frac {\partial }{\partial q {一世}}}}

其中 ? / ? q i {\displaystyle \partial /\partial q{i}} 是 TQ 上的坐標系。 共軛動量則有表達式

P X ( q , p ) = ∑ i X i ( q ) p i {\displaystyle P_{X}(q,p)=\sum _{i}X{i}(q)\;p_{i} }

其中 p i {\displaystyle p_{i}} 被定義為對應于向量 ? / ? q i {\displaystyle \partial /\partial q{i}} 的動量函數：

p i = P ? / ? q i {\displaystyle p_{i}=P_{\partial /\partial q{i}}}

q i {\displaystyle q{i}} 與 p j {\displaystyle p_{j}} 共同構成余切叢 T ? Q {\displaystyle T{*}Q} 上的坐標系； 這些坐標稱為規范坐標。

在拉格朗日力學中，使用了一組不同的坐標，稱為廣義坐標。 這些通常表示為 ( q i , q ˙ i ) {\displaystyle \left(q{i},{\dot {q}}{i}\right)} 其中 q i {\displaystyle q{i }} 稱為廣義位置和 q ˙ i {\displaystyle {\dot {q}}{i}} 廣義速度。 當在余切叢上定義哈密頓量時，廣義坐標通過 Hamilton–Jacobi 方程與規范坐標相關聯。