在物理學中，哈密頓原理是 William Rowan Hamilton 對靜止作用原理的表述。 它指出物理系統的動力學是由基于單一函數拉格朗日函數的變分問題決定的，該函數可能包含有關系統和作用在其上的力的所有物理信息。 變分問題等效于并允許推導物理系統的運動微分方程。 哈密頓原理雖然最初是為經典力學制定的，但也適用于電磁場和引力場等經典場，并在量子力學、量子場論和臨界理論中發揮重要作用。

哈密頓原理指出，由 N 個廣義坐標 q = (q1, q2, ..., qN) 描述的系統在兩個指定狀態 q1 = q(t1) 和 q2 = q(t2) 之間的真實演化 q(t) 在兩個指定時間 t1 和 t2 是動作泛函 S [ q ] = d e f ∫ t 1 t 2 L ( q ( t ) , q ˙ ( t ) , t ) 的駐點（變化為零的點） d t {\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {q} ]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{t_{1} }{t_{2}}L(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)\,dt} 其中 L ( q , q ˙ , t ) {\displaystyle L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)} 是系統的拉格朗日函數。 換句話說，真實進化的任何一階擾動都會導致（最多）S {\displaystyle {\mathcal {S}}} 的二階變化。 動作 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} 是一個函數，即，將一個函數作為輸入并返回一個數字，一個標量。 在泛函分析方面，哈密頓原理指出物理系統的真正演化是泛函方程的解

哈密頓原理

δ S δ q ( t ) = 0。{\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \mathbf {q} (t)}}=0.}

也就是說，系統在配置空間中采用一條路徑，該路徑的動作是固定的，在路徑的開始和結束處具有固定的邊界條件。

又見更嚴格的推導歐拉-拉格朗日方程

要求真實軌跡 q(t) 是動作泛函 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} 的靜止點等價于一組 q(t) 的微分方程（歐拉-拉格朗日方程 ), 可以推導如下。

令 q(t) 表示系統在兩個指定時間 t1 和 t2 的兩個指定狀態 q1 = q(t1) 和 q2 = q(t2) 之間的真實演化，并令 ε(t) 為零的小擾動 在軌跡的端點 ε ( t 1 ) = ε ( t 2 ) = d e f 0 {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{1})={\boldsymbol {\varepsilon } }(t_{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ 0}

對于擾動 ε(t) 中的一階，作用泛函 δ S {\displaystyle \delta {\mathcal {S}}} 的變化為 δ S = ∫ t 1 t 2 [ L ( q + ε , q ˙ + ε ˙ ) ? L ( q , q ˙ ) ] d t = ∫ t 1 t 2 ( ε ? ? L ? q + ε ˙ ? ? L ? q ˙ ) d t {\displaystyle \delta { \mathcal {S}}=\int _{t_{1}}{t_{2}}\;\left[L(\mathbf {q} +{\boldsymbol {\varepsilon }} ,{\dot {\mathbf {q} }}+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}})-L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf { q} }})\right]dt=\int _{t_{1}}{t_{2}}\;\left({\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\ frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}\cdot {\frac {\partial L}{ partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt} 其中我們已將拉格朗日 L 擴展到擾動 ε(t) 中的一階。

將分部積分應用于最后一項，結果為 {\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\left[{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\ 點 {\mathbf {q} }}}}\right]_{t_{1}}{t_{2}}+\int _{t_{1}}{t_{2}}\; left({\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\boldsymbol {\varepsilon }} cdot {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt }

邊界條件 ε ( t 1 ) = ε ( t 2 ) = d e f 0 {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{1})={\boldsymbol {\varepsilon }}(t_ {2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ 0} 導致xxx項消失 δ S = ∫ t 1 t 2 ε ? ( ? L ? q ? d d t ? L ? q ˙ ) d t {\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}{t_{2}}\;{\boldsymbol {\varepsilon } }\cdot \left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt}

哈密頓原理要求此一階變化 δ S {\displaystyle \delta {\mathcal {S}}} 對于所有可能的擾動 ε(t) 為零，即真實路徑是 動作泛函 S {\displaystyle {\mathcal {S}}}。