在分析力學中，廣義坐標是一組參數，用于表示系統在配置空間中的狀態。 這些參數必須xxx地定義系統相對于參考狀態的配置。 廣義速度是系統廣義坐標的時間導數。 形容詞 generalized 將這些參數與術語坐標的傳統用法區分開來，以指代笛卡爾坐標

廣義坐標的一個例子是使用擺相對于垂直方向的角度來描述擺的位置，而不是通過擺的 x 和 y 位置。

盡管物理系統的廣義坐標可能有很多可能的選擇，但通常選擇它們是為了簡化計算，例如系統運動方程的求解。 如果坐標相互獨立，則獨立廣義坐標的個數由系統的自由度數定義。

廣義坐標與廣義動量配對以提供相空間上的規范坐標。

通常選擇廣義坐標來提供定義系統配置的最少數量的獨立坐標，這簡化了拉格朗日運動方程的公式。 然而，也可能發生一組有用的廣義坐標可能是相關的，這意味著它們由一個或多個約束方程相關。

對于 3D 實坐標空間中的 N 個粒子系統，每個粒子的位置向量可以寫成笛卡爾坐標中的三元組：

r 1 = ( x 1 , y 1 , z 1 ) , r 2 = ( x 2 , y 2 , z 2 ) , ? r N = ( x N , y N , z N ) {\displaystyle {\begin {對齊}&\mathbf {r} _{1}=(x_{1},y_{1},z_{1}),\\&\mathbf {r} _{2}= (x_{2},y_{2},z_{2}),\\&\qquad \qquad \vdots \\&\mathbf {r} _{N}=( x_{N},y_{N},z_{N})\end{對齊}}}

任何位置向量都可以表示為 rk，其中 k = 1, 2, …, N 標記粒子。 完整約束是粒子 k 形式的約束方程

f ( r k , t ) = 0 {\displaystyle f(\mathbf {r} _{k},t)=0}

它將該粒子的所有 3 個空間坐標連接在一起，因此它們不是獨立的。 約束可能隨時間變化，因此時間 t 將明確出現在約束方程中。 在任何時刻，任何一個坐標都將根據其他坐標確定，例如 如果給定 xk 和 zk，那么 yk 也給定。 一個約束方程算作一個約束。 如果有C個約束，每個都有一個方程，那么就會有C個約束方程。 不一定每個粒子都有一個約束方程，如果系統沒有約束，那么也就沒有約束方程。

到目前為止，系統的配置由 3N 個數量定義，但可以刪除 C 坐標，每個約束方程中的一個坐標。 獨立坐標的個數為n = 3N ? C。（在D維中，原始配置需要ND個坐標，通過約束減少意味著n = ND ? C）。 理想的做法是使用定義整個系統配置所需的最少坐標，同時利用對系統的約束。 這些量在本文中稱為廣義坐標，表示為 qj(t)。 將它們收集成一個n元組很方便

q ( t ) = ( q 1 ( t ) , q 2 ( t ) , … , q n ( t ) ) {\displaystyle \mathbf {q} (t)=(q_{1}(t),\ q_{2}(t),\ \ldots ,\ q_{n}(t))}

這是系統配置空間中的一個點。 它們都是相互獨立的，每一個都是時間的函數。 在幾何上，它們可以是沿直線的長度，或沿曲線的弧長，或角； 不一定是笛卡爾坐標或其他標準正交坐標。 每個自由度都有一個，因此廣義坐標的數量等于自由度的數量 n。 自由度對應于改變系統配置的一個量，例如鐘擺的角度，或珠子沿導線穿過的弧長。

如果可以從約束中找到與自由度一樣多的獨立變量，則可以將它們用作廣義坐標。 粒子 k 的位置向量 rk 是所有 n 個廣義坐標（以及通過它們的時間）的函數，

r k = r k ( q ( t ) ) , {\displaystyle \mathbf {r} _{k}=\mathbf {r} _{k}(\mathbf {q} (t))\,, }

并且廣義坐標可以被認為是與約束相關聯的參數。

q 的相應時間導數是廣義速度，

q ˙ = d q d t = ( q ˙ 1 ( t ) , q ˙ 2 ( t ) , … , q ˙ n ( t ) ) {\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}={\ frac {d\mathbf {q} }{dt}}=({\dot {q}}_{1}(t),\ {\dot {q}。