杜哈梅原理

在數學中，更具體地說，在偏微分方程中，杜哈梅原理是獲得熱方程、波動方程和振動板方程等非齊次線性演化方程解的通用方法。 該方程模擬了從下方加熱的薄板中的熱分布。 對于沒有空間依賴性的線性演化方程，例如諧振子，杜哈梅原理簡化為求解線性非齊次常微分方程的變分法技術。 它也是研究非線性偏微分方程不可或缺的工具

杜哈梅原理背后的哲學是，從柯西問題（或初始值問題）的解到非齊次問題的解是可能的。 例如，考慮對熱能 u 在 Rn 中的分布建模的熱方程示例。

直觀上，可以將非齊次問題視為一組齊次問題，每個問題都在不同的時間片 t = t0 重新開始。 通過線性，可以將通過時間 t0 得到的解相加（積分）并獲得非齊次問題的解。 這就是杜哈梅原理的精髓。

杜哈梅原理也適用于線性系統（具有向量值函數 u），這反過來又提供了對更高 t 導數的推廣，例如波動方程中出現的導數。 該原理的有效性取決于能夠在適當的函數空間中解決齊次問題，并且該解決方案應表現出對參數的合理依賴性，以便積分是明確定義的。 u 和 f 的精確分析條件取決于特定應用。

線性波動方程根據對時間 t 和空間 x 的導數對理想化無色散一維弦的位移 u 進行建模：

? 2 u ? t 2 ? c 2 ? 2 u ? x 2 = f ( x , t ) 。

函數 f (x, t)，以自然單位表示，表示在位置 (x, t) 處施加在弦上的外力。 為了成為適合自然界的物理模型，應該可以針對弦所處的任何初始狀態對其進行求解，由其初始位移和速度指定：

u ( x , 0 ) = u 0 ( x ) , ? u ? t ( x , 0 ) = v 0 ( x ) 。