尤拉臨界載荷是細長柱突然彎曲或彎曲的壓縮載荷。

在哪里

• P c r {\displaystyle P_{cr}} , 尤拉臨界載荷（柱上的縱向壓縮載荷），
• E {\displaystyle E} ，柱材料的楊氏模量，
• I {\displaystyle I} ，柱橫截面的最小面積慣性矩（面積二階矩），
• L {\displaystyle L} ，不支持的列長度，
• K {\displaystyle K} , 列有效長度因子

這個公式是由瑞士數學家萊昂哈德歐拉于1757年推導出來的。 對于小于臨界載荷的載荷，柱子將保持筆直。 臨界載荷是不會引起橫向變形（屈曲）的xxx載荷。 對于大于臨界載荷的載荷，柱將橫向偏斜。 臨界載荷使柱處于不穩定的平衡狀態。 超過臨界載荷的載荷會導致柱因屈曲而失效。 當載荷增加到超過臨界載荷時，橫向變形會增加，直到它可能以其他模式失效，例如材料屈服。 本文未討論超過臨界載荷的色譜柱載荷。

1900 年左右，J. B. Johnson 表明，在長細比較低的情況下，應使用替代公式。

推導歐拉公式時作了如下假設：

• 色譜柱的材料均質且各向同性。
• 柱上的壓縮載荷僅為軸向。
• 色譜柱沒有初始應力。
• 忽略列的重量。
• 柱子最初是直的（軸向載荷沒有偏心）。
• 銷接頭無摩擦（無力矩約束），固定端剛性好（無旋轉偏轉）。
• 柱的橫截面在其整個長度上是均勻的。
• 與彎曲應力相比，直接應力非常小（材料僅在彈性應變范圍內被壓縮）。
• 與柱的橫截面尺寸相比，柱的長度非常大。
• 該柱僅因屈曲而失效。

對于細長柱，臨界屈曲應力通常低于屈服應力。 相比之下，粗壯的柱子可能具有高于屈服的臨界屈曲應力，即它在屈曲之前屈服。

以下模型適用于兩端簡單支撐的列 ( K = 1 {\displaystyle K=1} )。

首先，我們要注意鉸接端沒有反作用力，因此柱的任何橫截面也沒有剪力。 沒有反應的原因可以從對稱性（所以反應應該是同向的）和力矩平衡（所以反應應該是相反的方向）得到。

使用圖 3 右側的自由體圖，對 x 點的力矩求和： Σ M = 0 ? M ( x ) + P w = 0 {\displaystyle \Sigma M=0\Rightarrow M(x)+Pw=0} 其中 w 是橫向偏轉。

我們得到一個經典的齊次二階常微分方程。

• 左端固定：w ( 0 ) = 0 → A = 0 {\displaystyle w(0)=0\rightarrow A=0}
• 右端固定：w ( ? ) = 0 → B sin ? ( λ ? ) = 0 {\displaystyle w(\ell )=0\rightarrow B\sin(\lambda \ell ) =0}

如果 B = 0 {\displaystyle B=0} ，則沒有彎矩 e。