分岔理論

分解理論是對給定曲線族的定性或拓撲結構變化的數學研究，例如矢量場族的積分曲線，以及微分方程族的解。 最常應用于動力系統的數學研究，當對系統的參數值（分叉參數）進行的微小平滑變化導致其行為突然“定性”或拓撲變化時，就會發生分叉。 分叉出現在連續系統和離散系統中。

將分叉分為兩個主要類別是有用的：

• 局部分岔，當參數超過臨界閾值時，可以完全通過平衡、周期軌道或其他不變集的局部穩定性屬性的變化來分析；
• 全局分岔，當系統的較大不變集相互“碰撞”或與系統達到平衡時，通常會發生這種情況。 它們不能僅通過平衡（固定點）的穩定性分析來檢測。

當參數變化導致平衡（或固定點）的穩定性發生變化時，就會發生局部分叉。 在連續系統中，這對應于通過零的平衡特征值的實部。 在離散系統（由地圖描述）中，這對應于具有模數等于 1 的 Floquet 乘數的固定點。 在這兩種情況下，分叉點處的平衡都是非雙曲線的。通過將分叉參數移動到分叉點附近，可以將系統相圖中的拓撲變化限制在分叉不動點的任意小鄰域內（因此 '當地的'）。

從技術上講，考慮由常微分方程 (ODE) 描述的連續動力系統

x ˙ = f ( x , λ ) f : R n × R → R n 。

如果雅可比矩陣 d f x 0 , λ 0 具有實部為零的特征值。 如果特征值等于零，則分岔是穩態分岔，但如果特征值非零但純虛數，則這是 Hopf 分岔。

對于離散動力系統，考慮系統

x n + 1 = f ( x n , λ ) 。

如果矩陣 d f x 0 , λ 0 具有模等于一的特征值。 如果特征值等于 1，則分岔是鞍結點（在地圖中通常稱為折疊分岔）、跨臨界分岔或干草叉分岔。 如果特征值等于 -1，則為倍周期（或翻轉）分岔，否則為 Hopf 分岔。

當“更大”的不變集（例如周期軌道）與平衡點發生碰撞時，就會出現全局分岔。 這會導致相空間中軌跡的拓撲結構發生變化，而不能像局部分叉那樣限制在一個小的鄰域內。 事實上，拓撲結構的變化延伸到任意大的距離。

全球分叉的例子包括：

• 同宿分岔，其中極限環與鞍點相撞。 同宿分岔可以超臨界或亞臨界發生。 上面的變體是小型或 I 型同宿分岔。 在 2D 中，還有大的或 II 型同宿分岔，其中同宿軌道捕獲鞍的不穩定和穩定流形的另一端。 在三個或更多維度中，可能會出現更高的余維分叉，從而產生復雜的、可能是混沌的動力學。
• 異宿分岔，其中極限環與兩個或多個鞍點相撞； 它們涉及異宿循環。 異宿分岔有兩種類型：共振分岔和橫向分岔。 兩種類型的分叉都會導致異宿旋回穩定性的變化。