歷歷論（希臘語：?ργον ergon work，?δ?? hodos way）是數學的一個分支，研究確定性動力系統的統計特性； 這是對遍歷性的研究。 在這種情況下，統計特性是指通過各種函數沿動力系統軌跡的時間平均值的行為來表達的特性。 確定性動力系統的概念假設決定動力學的方程不包含任何隨機擾動、噪聲等。因此，我們關注的統計是動力學的屬性。

遍歷理論與概率論一樣，基于測度論的一般概念。 它最初的發展是受統計物理學問題的推動。

遍歷理論的一個核心關注點是動力系統在允許長時間運行時的行為。 這個方向的xxx個結果是龐加萊遞歸定理，它聲稱相空間的任何子集中的幾乎所有點最終都會重新訪問該集合。 龐加萊遞歸定理成立的系統是保守系統； 因此所有遍歷系統都是保守的。

各種遍歷定理提供了更精確的信息，這些定理斷言，在某些條件下，函數沿軌跡的時間平均幾乎無處不在，并且與空間平均有關。 兩個最重要的定理是 Birkhoff (1931) 和 von Neumann 的定理，它們斷言沿每個軌跡存在時間平均。 對于特殊類的遍歷系統，這個時間平均值對于幾乎所有的初始點都是相同的：從統計學上講，演化時間長的系統會忘記它的初始狀態。 更強的特性，例如混合和均勻分布，也得到了廣泛的研究。

系統的度量分類問題是抽象遍歷理論的另一個重要組成部分。 動力系統的各種熵概念在遍歷理論及其在隨機過程中的應用中發揮了突出作用。

遍歷性和遍歷假設的概念是遍歷理論應用的核心。 基本思想是，對于某些系統，其屬性的時間平均值等于整個空間的平均值。 遍歷理論在數學其他部分的應用通常涉及為特殊類型的系統建立遍歷性屬性。 在幾何學中，遍歷理論的方法已被用于研究黎曼流形上的測地線流，從 Eberhard Hopf 對于負曲率黎曼曲面的結果開始。 馬爾可夫鏈形成了概率論應用的共同背景。 遍歷理論與調和分析、李論（表示論、代數群中的格）和數論（丟番圖近似理論、L 函數）有著卓有成效的聯系。

遍歷理論經常關注遍歷變換。 這種作用于給定集合的轉換背后的直覺是，它們徹底地攪動了該集合的元素。 例如。 如果集合是碗中的一定量的熱燕麥片，并且如果將一勺糖漿放入碗中，則燕麥片的遍歷變換的逆迭代將不允許糖漿保留在碗中的局部子區域中 燕麥片，但會使糖漿均勻分布。 同時，這些迭代不會壓縮或膨脹燕麥片的任何部分：它們保留了密度度量。

正式定義如下：

設 T : X → X 是測度空間 (X, Σ, μ) 上的保測變換，其中 μ(X) = 1。如果對于 Σ 中的每個 E 具有 μ(T?1(E ) Δ E) = 0，μ(E) = 0 或 μ(E) = 1。

這里的算子Δ是集合的對稱差分，相當于集合隸屬度的異或運算。 對稱差為零測度的條件稱為本質不變。

• 圓 R/Z、T 的無理旋轉：x → x + θ，其中 θ 是無理數，是遍歷的。 這種變換具有更強的獨特遍歷性、極小性和均勻分布的特性。 相比之下，如果 θ = p/q 是有理數（最低限度），則 T 是周期性的，周期為 q，因此不能是遍歷的：對于長度為 a 的任何區間 I，0 < ; 一個< 1/q，它在 T 下的軌道（即 I, T(I), ..., Tq?1(I) 的并集，其中包含 I 在任意數量的 T 應用下的圖像）是一個 T -不變模 0 集，它是長度為 a 的 q 個區間的并集，因此它的測度 qa 嚴格介于 0 和 1 之間。
• 設 G 是緊阿貝爾群，μ 是歸一化 Haar 測度，T 是 G 的群自同構。設 G* 是 Pontryagin 對偶群，由 G 的連續特征組成，T* 是對應的伴隨自同構 G *。 自同構 T 是遍歷的當且僅當等式 (T*)n