在數學中，博蘇克－烏拉姆定理指出，從 n 球面到歐幾里德 n 空間的每個連續函數都將一對對映點映射到同一點。 在這里，如果球體上的兩個點與球體中心的方向完全相反，則它們被稱為對映點。

n = 1 {\\displaystyle n=1} 的情況可以用地球赤道上總是存在一對溫度相同的相對點來說明。 任何圈子都是如此。 這假設溫度在空間中連續變化。

n = 2 {\\displaystyle n=2} 的情況通常表示為在任何時刻，地球表面總是有一對對映點具有相同的溫度和相同的氣壓，假設兩個參數 在空間上不斷變化。

博蘇克－烏拉姆定理在奇函數方面有幾個等價的陳述。 回想一下，S n {\\displaystyle S{n}} 是 n 球，而 B n {\\displaystyle B{n}} 是 n 球：

• 如果 g : S n → R n {\\displaystyle g:S{n}\\to \\mathbb {R} {n}} 是連續奇函數，則存在 x ∈ S n {\ \displaystyle x\\in S{n}} 這樣： g ( x ) = 0 {\\displaystyle g(x)=0} 。
• 如果 g : B n → R n {\\displaystyle g:B{n}\\to \\mathbb {R} {n}} 是連續函數，在 S n ? 1 {\\displaystyle S{n-1}}（B n {\\displaystyle B{n}} 的邊界），則存在一個 x ∈ B n {\\displaystyle x\\in B{n}} 使得： g ( x ) = 0 {\\displaystyle g(x)=0} .

根據 Matou?ek（2003 年，第 25 頁）的說法，歷史上第一次提到博蘇克－烏拉姆定理的說法出現在 Lyusternik & Shnirel'man (1930)。 第一個證明由 Karol Borsuk (1933) 給出，其中問題的表述歸功于 Stanislaw Ulam。 從那時起，不同的作者發現了許多替代證據，這些證據由 Steinlein (1985) 收集。

以下陳述等同于博蘇克－烏拉姆定理。

如果對于每個 x {\\displaystyle x} : g ( ? x ) = ? g ( x ) {\\displaystyle g(-x )=-g(x)} 。

博蘇克－烏拉姆定理等價于以下陳述：從n-球面到歐幾里德n-空間的連續奇函數有一個零。 證明：

• 如果定理是正確的，那么它對于奇函數是特別正確的，對于奇函數，g ( ? x ) = g ( x ) {\\displaystyle g(-x)=g(x)} iff g ( x ) = 0 {\\displaystyle g(x)=0} 。 因此，每個奇數連續函數都有一個零。
• 對于每個連續函數 f {\\displaystyle f} ，以下函數是連續且奇數的： g ( x ) = f ( x ) ? f ( ? x ) {\\displaystyle g(x)=f(x )-f(-x)} 。 如果每個奇數連續函數都有一個零，那么 g {\\displaystyle g} 也有一個零，因此 f ( x ) = f ( ? x ) {\\displaystyle f(x)=f(-x)} 。 因此定理是正確的。

將回縮定義為函數 h : S n → S n ? 1 。 {\\displaystyle h:S{n}\\to S{n-1}.} 博蘇克－烏拉姆定理等價于以下斷言：不存在連續的奇數回縮。

證明：如果定理是正確的，那么來自 S n {\\displaystyle S{n}} 的每個連續奇函數都必須在其范圍內包含 0。 然而， 0 ? S n ? 1 {\\displaystyle 0\\notin S{n-1}} 因此不可能存在范圍為 S n ? 1 {\\displaystyle S{n-1}} 的連續奇函數。

相反，如果它不正確，則存在一個不帶零的連續奇函數 g : S n → R n {\\displaystyle g:S{n}\\to {\\mathbb {R}}{n}}。 然后我們可以構造另一個奇函數 h : S n → S n ? 1 {\\displaystyle h:S{n}\\to S{n-1}} 通過

因為 g {\\displaystyle g} 沒有零，所以 h {\\displaystyle h} 是定義明確且連續的。 因此，我們有一個連續的奇數收縮。

使用中間值定理 (IVT) 可以輕松證明一維情況。

設 g {\\displaystyle g} 是圓上的奇數實值連續函數。 選擇一個任意的 x {\\displaystyle x} 。 如果 g ( x ) = 0 {\\displaystyle g(x)=0} 那么我們就完成了。