代數拓撲的毛球定理指出在偶數維 n 球面上不存在不消失的連續切向量場。 對于普通球體或 2 球體，如果 f 是一個連續函數，將 R3 中的向量分配給球體上的每個點 p，使得 f(p) 始終與球體在 p 處相切，則至少有一個 極點，場消失的點（p 使得 f(p) = 0）。

該定理已被通俗地表達為您不能在不產生牛皮的情況下將毛茸茸的球梳平，或者您不能將椰子上的頭發梳理。

向量場的每個零點都有一個（非零）索引，可以證明所有零點處的所有索引之和必須為二，因為 2-球面的歐拉特征為二。 因此，必須至少有一個零。? 在環面的情況下，歐拉特性為 0； 并且可以梳理毛茸茸的甜甜圈。 在這方面，它遵循任何具有非零歐拉特征的緊湊規則二維流形，任何連續切向量場至少有一個零。

計算機圖形學中的一個常見問題是在 R3 中生成一個與給定非零向量正交的非零向量。 沒有單一的連續函數可以對所有非零向量輸入執行此操作。 這是毛球定理的推論。 要看到這一點，請將給定向量視為球體的半徑，并注意找到一個與給定向量正交的非零向量等同于找到一個與該球體表面相切的非零向量，它接觸到 半徑。 然而，毛球定理表示不存在可以對球體上的每個點執行此操作的連續函數。

代數拓撲有一個密切相關的論證，使用 Lefschetz 不動點定理。通過對向量場積分，我們得到（至少 一小部分）球面上的單參數微分同胚群； 并且其中的所有映射都與身份同倫。 因此，他們也都擁有 Lefschetz 2 號。 因此它們有不動點。 需要做更多的工作來證明這意味著矢量場實際上必須為零。

毛球定理的一個結果是任何將偶數維球體映射到自身的連續函數都有一個不動點或一個映射到它自己的對映點的點。 這可以通過如下將函數轉換為切向矢量場來看出。

令 s 為將球體映射到自身的函數，令 v 為要構造的切向向量函數。 對于每個點 p，構造以 p 為切點的 s(p) 的立體投影。 那么v(p)就是這個投影點相對于p的位移矢量。 根據毛球定理，存在一個 p 使得 v(p) = 0，因此 s(p) = p。

僅當存在點 p 且 s(p) 是 p 的對映點時，該論點才會失效，因為這樣的點是xxx不能立體投影到 p 的切平面上的點。

進一步的推論是任何偶數維射影空間都具有不動點性質。 這是通過將 R P 2 n 的連續函數提升到自身到 S 2 n 的函數到自身的先前結果得出的。

與歐拉特征 χ 的聯系表明了正確的概括：對于 n ≥ 1，2n 球沒有非零矢量場。偶數和奇數維度之間的區別在于，因為 m 球的xxx非零 Betti 數是 b0和bm，它們的交替和χ對于m偶數為2，對于m奇數為0。

事實上，通過考慮周圍偶數維歐幾里德空間 R 2 n 成對。 即，可以通過指定向量場 v : R 2 n → R 2 n