描述函數

在控制系統理論中，是用于分析某些非線性控制問題的近似程序。 它基于準線性化，準線性化是通過依賴于輸入波形幅度的線性時不變 (LTI) 傳遞函數來研究非線性系統的近似值。 根據定義，真正的 LTI 系統的傳遞函數不能依賴于輸入函數的幅度，因為 LTI 系統是線性的。 因此，這種對振幅的依賴產生了一系列線性系統，這些系統被組合起來以試圖捕捉非線性系統行為的顯著特征。 描述函數是設計非線性系統的為數不多的廣泛應用的方法之一，并且被廣泛用作分析閉環控制器中的極限環的標準數學工具。

考慮與緩慢穩定的線性系統級聯的不連續（但分段連續）非線性（例如，具有飽和度的放大器或具有死區效應的元件）的反饋。 反饋呈現給非線性的連續區域取決于線性系統輸出的幅度。 隨著線性系統的輸出幅度衰減，非線性可能會移動到不同的連續區域。 這種從一個連續區域到另一個連續區域的切換會產生周期性振蕩。 描述函數法試圖通過假設慢速系統像低通或帶通濾波器一樣將所有能量集中在一個頻率周圍來預測這些振蕩的特征（例如，它們的基頻）。 即使輸出波形有多種模式，該方法仍然可以提供有關頻率和可能幅度等屬性的直覺； 在這種情況下，描述函數方法可以被認為是描述反饋系統的滑動模式。

使用這種低通假設，系統響應可以用一系列正弦波形中的一個來描述； 在這種情況下，系統將以正弦輸入描述函數 (SIDF) H ( A , j ω )為特征，給出系統對輸入組成的響應 振幅為 A、頻率為 ω 的正弦波。 此 SIDF 是對用于表征線性系統的傳遞函數 H ( j ω ) 的修改。 在準線性系統中，當輸入是正弦波時，輸出將是頻率相同但具有縮放幅度和偏移相位的正弦波，由 H ( A , j ω ) 。 許多系統在某種意義上是近似線性的，盡管對正弦波的響應不是純正弦波，但輸出中的大部分能量確實與輸入的頻率 ω 相同 . 這是因為此類系統可能具有固有的低通或帶通特性，因此諧波會自然衰減，或者因為為此目的添加了外部濾波器。 SIDF 技術的一個重要應用是估計正弦電子振蕩器的振蕩幅度。

已使用的其他類型的描述函數是用于電平輸入和高斯噪聲輸入的 DF。 雖然不是系統的完整描述，但 DF 通常足以回答有關控制和穩定性的特定問題。 DF 方法最適合分析非線性相對較弱的系統。 此外，高階正弦輸入描述函數 (HOSIDF) 描述了一類非線性系統在正弦輸入的輸入頻率的諧波處的響應。 HOSIDF 是 SIDF 的擴展，適用于非線性響應顯著的系統。

盡管描述函數方法可以為廣泛的系統類產生相當準確的結果，但對于其他系統它可能會失敗。 例如，如果系統強調非線性的高次諧波，則該方法可能會失敗。 Tzypkin 已經為 bang-bang 系統提供了這樣的例子。 一個非常相似的例子是一個閉環振蕩器，它由一個非反相施密特觸發器和一個反相積分器組成，該積分器將其輸出反饋到施密特觸發器的輸入。 施密特觸發器的輸出將是一個方波，而積分器（跟隨它）的輸出將是一個三角波形，其峰值與方波的躍遷一致。 這兩個振蕩器級中的每一個都精確地滯后信號 90 度（相對于其輸入）。