在數學中，穩定性理論解決微分方程解的穩定性和動力系統軌跡在初始條件的小擾動下的穩定性。 例如，熱方程是一個穩定的偏微分方程，因為根據xxx原理，初始數據的微小擾動會導致稍后溫度的微小變化。 在偏微分方程中，可以使用 Lp 范數或 sup 范數來測量函數之間的距離，而在微分幾何中，可以使用 Gromov–Hausdorff 距離來測量空間之間的距離。

在動力系統中，如果任何點的前向軌道位于足夠小的鄰域內或保持在較小（但可能更大）的鄰域內，則軌道稱為李雅普諾夫穩定軌道。 已經制定了各種標準來證明軌道的穩定性或不穩定性。 在有利的情況下，該問題可以簡化為涉及矩陣特征值的經過充分研究的問題。 更一般的方法涉及李雅普諾夫函數。 在實踐中，應用了許多不同的穩定性標準中的任何一種。

微分方程和動力系統的定性理論的許多部分都涉及解和軌跡的漸近特性——經過很長一段時間后系統會發生什么。 最簡單的一種行為是由平衡點或固定點以及周期性軌道表現出來的。 如果一個特定的軌道得到很好的理解，接下來很自然地會問初始條件的微小變化是否會導致類似的行為。 定性理論解決了以下問題：附近的軌道會無限期地靠近給定軌道嗎？ 它會收斂到給定的軌道嗎？ 在前一種情況下，軌道被稱為穩定的； 在后一種情況下，它被稱為漸近穩定并且給定軌道被稱為吸引。

一階常微分方程自治系統的平衡解 f e {\\displaystyle f_{e}} 稱為：

• 如果對于每一個（小的）ε 都是穩定的 > 0 {\\displaystyle \\epsilon >0} ，存在一個 δ >; 0 {\\displaystyle \\delta >0} 這樣每個解 f ( t ) {\\displaystyle f(t)} 的初始條件都在距離 δ {\\displaystyle \\delta } 內，即 ‖ f ( t 0 ) ? f e ‖ < δ {\\displaystyle \\|f(t_{0})-f_{e}\\|<\\delta } 平衡保持在距離 ε {\\displaystyle \\epsilon } 內，即 ‖ f ( t ) ? f e ‖ < ε {\\displaystyle \\|f(t)-f_{e}\\|<\\epsilon } 對于所有 t ≥ t 0 {\\displaystyle t\\geq t_{0}} 。
• 漸近穩定如果它是穩定的，此外，存在δ 0 >; 0 {\\displaystyle \\delta _{0}>0} 這樣每當 ‖ f ( t 0 ) ? f e ‖ <; δ 0 {\\displaystyle \\|f(t_{0})-f_{e}\\|<\\delta _{0}} 然后 f ( t ) → f e {\\displaystyle f(t)\ \rightarrow f_{e}} as t → ∞ {\\displaystyle t\\rightarrow \\infty } .

穩定性意味著軌跡在小的擾動下不會改變太多。 相反的情況，附近的軌道被給定軌道排斥，也很有趣。 通常，在某些方向上擾動初始狀態會導致軌跡漸近地接近給定狀態，而在其他方向上會導致軌跡逐漸遠離給定狀態。 也可能有擾動軌道的行為更復雜的方向（既不完全收斂也不完全逃逸），然后穩定性理論沒有提供足夠的動力學信息。

穩定性理論的一個關鍵思想是，可以使用軌道附近系統的線性化來分析擾動下軌道的定性行為。 特別是，在具有 n 維相空間的光滑動力系統的每個平衡點，都有一個特定的 n×n 矩陣 A，其特征值表征附近點的行為（Hartman-Grobman 定理）。 更準確地說，如果所有特征值都是負實數或實部為負的復數，則該點是穩定的吸引不動點，并且附近的點以指數速率收斂到它，參見李亞普諾夫穩定性和指數穩定性。 如果沒有一個特征值是純虛數（或零），則吸引和排斥方向與矩陣 A 的特征空間相關，特征值的實部分別為負和正。 對于更復雜的軌道的擾動，類似的陳述是眾所周知的。

最簡單的軌道類型是固定點或平衡點。 如果一個機械系統處于穩定的平衡狀態，那么一個小的推動將導致局部運動，例如，像鐘擺一樣的小振蕩。 在具有阻尼的系統中，穩定的平衡狀態是漸近穩定的。 另一方面，對于一個不穩定的平衡，比如一個球停在一個 h 的頂部。