在數學中，鞍點或極小極大點是函數圖形表面上正交方向的斜率全為零的點，但不是函數的局部極值點。 鞍點的一個示例是存在一個臨界點，該臨界點沿一個軸向方向具有相對最小值，而沿交叉軸具有相對xxx值。 然而，鞍點不必是這種形式。

這個名字來源于這樣一個事實，即二維的原型例子是一個表面，它在一個方向上彎曲，在另一個方向上彎曲，類似于馬鞍或兩個山峰之間的山口，形成地形馬鞍。 就等高線而言，二維中的鞍點產生等高線圖，一對線相交于該點。 這種交叉點在實際軍械測量地圖中很少見，因為鞍點的高度不太可能與此類地圖中使用的整數倍重合。 相反，鞍點顯示為四組接近和遠離它的等高線中間的空白區域。 對于基本鞍點，這些集合成對出現，一對相對的高對和一對相對的低對位于正交方向。 臨界等高線通常不必正交相交。

檢查兩個實變量的實值函數 F(x,y) 的給定駐點是否為鞍點的一個簡單標準是計算函數在該點的 Hessian 矩陣：如果 Hessian 是不確定的， 那么那個點就是鞍點。 例如，函數 z = x 2 ? y 2在靜止點 ( x , y , z ) = ( 0 , 0 , 0 ) 是矩陣

[ 2 0 0 ? 2 ]

這是不確定的。 因此，該點為鞍點。 該準則僅給出了充分條件。 例如，點 ( 0 , 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0,0)} 是函數 z = x 4 ? y 4 的鞍點，但是這個函數在原點的Hessian矩陣是空矩陣，不是不定的。

用最一般的術語來說，平滑函數的鞍點是一個固定點，使得曲線/曲面/等。 在該點的鄰域內并不完全位于該點切線空間的任何一側。

在一維域中，鞍點是一個既是靜止點又是拐點的點。 因為它是一個拐點，所以它不是局部極值。

鞍形曲面是包含一個或多個鞍點的光滑曲面。

歐幾里得空間中二維鞍形曲面的經典示例是二階曲面，雙曲拋物面 z = x 2 ? y 2 和一張雙曲面。 品客薯片或薯片是雙曲拋物面形狀的日常示例。

鞍形曲面具有負高斯曲率，這將它們與具有正高斯曲率的凸/橢圓曲面區分開來。 經典的三階鞍曲面是猴鞍。

在定義在連續空間上的兩人零和博弈中，平衡點是鞍點。

對于二階線性自治系統，如果特征方程具有一正一負實特征值，則臨界點為鞍點。

在受等式約束的優化中，一階條件描述了拉格朗日量的鞍點。

在動力系統中，如果動力由可微映射 f 給出，則當且僅當 ? n 的微分在計算時在單位圓上沒有特征值時，點是雙曲線的 在這一點上。 Thena 鞍點是一個雙曲周期點，其穩定流形和不穩定流形的維數都不為零。

矩陣的鞍點是一個元素，它既是其列中的xxx元素，又是其行中的最小元素。