波塞利耶-利普金機械

波塞利耶-利普金機械是xxx個真正的平面直線機構——xxx個能夠將旋轉運動轉化為完美直線運動的平面連桿機構，反之 反之亦然。

在本發明之前，沒有參考導軌，不存在將精確的直線運動轉換為圓周運動的平面方法。 1864 年，所有動力都來自蒸汽機，蒸汽機有一個活塞在汽缸中上下直線運動。 該活塞需要與氣缸保持良好的密封以保留驅動介質，并且不會因泄漏而損失能量效率。 活塞通過保持垂直于氣缸的軸線并保持其直線運動來做到這一點。 將活塞的直線運動轉換為圓周運動至關重要。 大多數這些蒸汽機的應用都是旋轉的。

有一種更早的直線機制，其歷史并不為人所知，稱為 Sarrus linkage。 這種連桿比 Peaucellier-Lipkin 連桿早了 11 年，由一系列鉸接的矩形板組成，其中兩個保持平行，但可以正常地相互移動。 Sarrus 的連桿機構屬于三維類，有時稱為空間曲柄，這與平面機構的 Peaucellier-Lipkin 連桿機構不同。

在儀器的幾何圖中，可以看到六個固定長度的桿：OA、OC、AB、BC、CD、DA。 OA的長度等于OC的長度，AB、BC、CD、DA的長度都相等，構成一個菱形。 另外，O點是固定的。 然后，如果 B 點被約束沿著穿過 O 的圓移動，則點 D 將必然必須移動 沿著一條直線。 另一方面，如果 B 點被迫沿直線移動，則 D 點必然必須沿圓移動。

首先，必須證明點O、B、D共線。 通過觀察連桿機構關于線 OD 鏡像對稱，可以很容易地看出這一點，因此點 B 必須落在該線上。

更正式地說，三角形 △BAD 和 △BCD 是全等的，因為邊 BD 與自身全等，邊 BA 與邊 BC 全等，邊 AD 與邊 CD 全等。 因此，角∠ABD 和∠CBD 相等。

其次，三角形△OBA和△OBC全等，因為邊OA和OC全等，邊OB全等，邊BA和BC全等。 因此，角∠OBA 和∠OBC 相等。

最后，因為它們形成一個完整的圓，我們有

∠ O B A + ∠ A B D + ∠ D B C + ∠ C B O = 360 °

令點 P 為直線 AC 和 BD 的交點。 那么，由于 ABCD 是菱形，P 是線段 BD 和 AC 的中點。 因此，長度BP = 長度PD。

三角形△BPA全等三角形△DPA，因為邊BP全等邊DP，邊AP全等于自身，邊AB全等邊AD。 因此，角∠BPA = 角∠DPA。 但由于∠BPA + ∠DPA = 180°，則2 × ∠BPA = 180°，∠BPA = 90°，∠DPA = 90°。

由于OA和AD都是固定長度，那么OB和OD的乘積是一個常數：

? O B ? ? O D = k 2

并且由于點 O、B、D 共線，則 D 是 B 的倒數。