亥姆霍茲方程

在數學中，拉普拉斯算子的特征值問題被稱為亥姆霍茲方程。 它對應于線性偏微分方程 ? 2 f = ? k 2 f ,

其中 ?2 是拉普拉斯算子，k2 是特征值，f 是函數。 當方程應用于波時，k 被稱為波數。 亥姆霍茲方程在物理學中有多種應用，包括波動方程和擴散方程，在其他科學中也有用途。

亥姆霍茲方法經常出現在研究涉及空間和時間的偏微分方程 (PDE) 的物理問題時。 亥姆霍茲方法代表了波動方程的時間無關形式，它是應用變量分離技術來降低分析復雜性的結果。

變量分離首先假設波函數 u(r, t) 實際上是可分離的：u ( r , t ) = A ( r ) T ( t ) 。

將這種形式代入波動方程再化簡，得到如下方程： ? 2 A A = 1 c 2 T d 2 T d t 2 。

請注意，左側的表達式僅取決于 r，而右側的表達式僅取決于 t。 因此，這個等式在一般情況下是有效的當且僅當等式兩邊都等于相同的常數值。 這個論點是通過變量分離求解線性偏微分方程的技術的關鍵。 從這個觀察中，我們得到兩個方程，一個用于 A(r)，另一個用于 T(t)： ? 2 A A = ? k 2

在不失一般性的情況下，我們選擇了表達式 ?k2 作為常量值。

重新排列xxx個方程，我們得到亥姆霍茲方程： ? 2 A + k 2 A = ( ? 2 + k 2 ) A = 0。

同樣，在代入 ω = kc 后，其中 k 是波數，ω 是角頻率（假設是單色場），第二個方程變為

d 2 T d t 2 + ω 2 T = ( d 2 d t 2 + ω 2 ) T = 0。

我們現在有了空間變量 r 的亥姆霍茲方程和時間上的二階常微分方程。 時間上的解將是正弦和余弦函數的線性組合，其確切形式由初始條件決定，而空間解的形式將取決于邊界條件。 或者，積分變換（例如拉普拉斯變換或傅立葉變換）通常用于將雙曲 PDE 變換為亥姆霍茲方程的形式。

由于它與波動方程的關系，亥姆霍茲方程出現在諸如電磁輻射、地震學和聲學研究等物理學領域的問題中。

空間亥姆霍茲方法的解： ? 2 A = ? k 2 A 可以通過變量分離得到簡單幾何。

振動弦的二維模擬是振動膜，其邊緣被夾緊以保持靜止。

如果一個形狀的邊緣是直線段，那么只有當它可以表示為滿足邊界條件.

如果域是一個半徑為 a 的圓，那么引入極坐標 r 和 θ 是合適的。 亥姆霍茲方法的形式為 A r r + 1 r A r + 1 r 2 A θ θ + k 2 A = 0。

如果 r = a，我們可以施加 A 消失的邊界條件； 因此 A ( a , θ ) = 0。

變量分離法得出 A ( r , θ ) 形式的試驗解 。