基爾霍夫衍射公式

基爾霍夫衍射公式可用于對光在各種配置中的傳播進行建模，無論是通過分析還是使用數值建模。 當單色球面波是所考慮情況的入射波時，它給出了波擾動的表達式。 該公式是通過將基爾霍夫積分定理應用于具有某些近似值的球面波而導出的，該定理使用格林的第二恒等式推導出齊次標量波動方程的解。

惠更斯-菲涅耳原理是由菲涅耳-基爾霍夫衍射公式推導出來的。

基爾霍夫積分定理，有時也稱為菲涅耳-基爾霍夫積分定理，利用格林的第二恒等式，根據波動方程的解推導出齊次標量波動方程在任意空間位置P的解 及其在任意封閉曲面 S {displaystyle S} 上所有點的一階導數作為包含 P 的某個體積的邊界。

積分定理為單色源提供的解是 U ( P ) = 1 4 π ∫ S [ U ? ? n ( e i k s s ) ? e i k s s ? U ? n ] d S ,其中 U? 是齊次標量波動方程解的空間部分（即 V ( r , t ) = U ( r ) e ? i ω t? 作為 齊次標量波動方程解），k 是波數，s 是從 P 到（無限小）積分表面元素的距離，并且 ? ? n 表示沿積分表面元素法線單位向量 n的微分（即法線導數），即 ? f ? n = ? f ? n? 。 請注意，在這個積分中，表面法線或 n的方向朝向封閉體積的內部； 如果使用更常見的指向外的法線，則積分將具有相反的符號。 還要注意，在此處顯示的積分定理中，n 和 P 是矢量，而其他項是標量。

對于以下情況，做出以下基本假設。

• 點波源到積分區的距離、積分區到觀察點P的距離、開口尺寸S都遠大于波的波長λ .
• U 和 ? U ? n = ? U ? n 在孔徑的邊界處是不連續的，稱為基爾霍夫邊界條件。 這可能與另一個假設有關，即孔徑（或開放區域）上的波浪與在沒有波浪障礙物的情況下會出現的波浪相同。

考慮 P0 處的單色點光源，它照亮屏幕上的孔徑。 點源發射的波的強度隨著行進距離的平方反比而衰減，因此振幅隨著距離的倒數而衰減。 距離 r {displaystyle r} 處擾動的復振幅由下式給出

U ( r ) = a e i k r r ,其中 a? 表示點源處擾動的大小 .

通過將基爾霍夫積分定理應用于半徑為 R 的球體與屏幕相交形成的封閉曲面，可以找到空間位置 P 處的擾動。