阿佩爾方程
編輯聲明
編輯Gibbs-Appell 方程為
Q r = ? S ? α r ,
其中 α r = q r 是任意廣義加速度,或廣義坐標的二階時間導數 q r , Q r是對應的廣義力。 廣義力給出了完成的工作
d W = ∑ r = 1 D Q r d q r ,其中索引 r 運行在 D 廣義坐標 q r 上,它通常對應于系統的自由度。 函數 S 被定義為粒子加速度平方的質量加權和,
S = 1 2 ∑ k = 1 N m k a k 2 ,
其中索引 k {dISPlaystyle k} 遍歷 K 粒子,并且
a k = r ¨ k = d 2 r k d t 2
是第 k 個粒子的加速度,是其位置向量 r k的二階時間導數。 每個 r k 用廣義坐標表示,而 a k 用廣義加速度表示 .
與經典力學其他公式的關系
編輯阿佩爾的公式沒有向經典力學引入任何新物理,因此等同于經典力學的其他重構,例如拉格朗日力學和哈密頓力學。 所有經典力學都包含在牛頓運動定律中。 在某些情況下,阿爾佩爾方法可能比常用的拉格朗日力學更方便,特別是涉及非完整約束時。 事實上,阿佩爾方程直接導出拉格朗日運動方程。 而且,它可以用來推導特別適合描述復雜航天器運動的凱恩方程。
推導
編輯對于 D 廣義坐標中的無窮小變化,粒子位置 rk 的變化是
d r k = ∑ r = 1 D d q r ? r k ? q r
對時間取兩個導數可得出加速度的等效方程
? a k ? α r = ? r k ? q r
廣義坐標下的無窮小變化 dqr 所做的功為
d W = ∑ r = 1 D Q r d q r = ∑ k = 1 N F k ? d r k = ∑ k = 1 N m k a k ? d r k
其中第 k 個粒子的牛頓第二定律
F k = m k a k
已經用過。
屈服阿爾佩爾方程
? S ? α r = Q r 。
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