在數學中，自治系統或自治微分方程是不明確依賴于自變量的常微分方程組。 當變量是時間時，它們也被稱為時不變系統。

物理學中的許多定律，其中自變量通常被假定為時間，被表示為自治系統，因為假設現在適用的自然定律與過去或未來任何一點的自然定律相同。

自治系統是一個常微分方程組，其形式為 d d t x ( t ) = f ( x ( t ) ) {displaystyle {frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t ))} 其中 x 在 n 維歐氏空間中取值； t 通常被解釋為時間。

它與 d d t x ( t ) = g ( x ( t ) , t ) {displaystyle {frac {d}{dt}}x(t)=g(x(t) 形式的微分方程組不同 ),t)} 其中支配系統演化的法則不僅僅取決于系統的當前狀態，還取決于參數 t，通常又被解釋為時間； 根據定義，此類系統不是自主的。

在水平平移下解是不變的：

設 x 1 ( t ) {displaystyle x_{1}(t)} 是自治系統 d d t x ( t ) = f ( x ( t ) ) , x ( 0 ) = x 的初始值問題的xxx解 0。 {displaystyle {frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t)),,quad x(0)=x_{0}.} 那么 x 2 ( t ) = x 1 ( t ? t 0 ) {displaystyle x_{2}(t)=x_{1}(t-t_{0})} 求解 d d t x ( t ) = f ( x ( t ) ) , x ( t 0 ) = x 0 。 {displaystyle {frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t)),,quad x(t_{0})=x_{0}.} 表示 s = t ? t 0 {displaystyle s=t-t_{0}} 得到 x 1 ( s ) = x 2 ( t ) {displaystyle x_{1}(s)=x_{2}(t)} d s = d t {displaystyle ds=dt} ，因此 d d t x 2 ( t ) = d d t x 1 ( t ? t 0 ) = d d s x 1 ( s ) = f ( x 1 ( s ) ) = f ( x 2 ( t ））。 {displaystyle {frac {d}{dt}}x_{2}(t)={frac {d}{dt}}x_{1}(t-t_{0})={ frac {d}{ds}}x_{1}(s)=f(x_{1}(s))=f(x_{2}(t)).}對于初始條件，驗證是微不足道的，x 2 ( t 0 ) = x 1 ( t 0 ? t 0 ) = x 1 ( 0 ) = x 0 。 {displaystyle x_{2}(t_{0})=x_{1}(t_{0}-t_{0})=x_{1}(0)=x_{0}。}

方程 y ′ = ( 2 ? y ) y {displaystyle y'=left(2-yright)y} 是自治的，因為自變量 ( x {displaystyle x} ) 不 明確地出現在等式中。 要繪制此方程的斜率場和等傾線，可以在 GNU Octave/MATLAB 中使用以下代碼

Ffun = @(X, Y)(2 - Y) .* Y; % function f(x,y)=(2-y)y[X, Y] = meshgrid(0:.2:6, -1:.2:3); % 選擇地塊大小 DY = Ffun(X, Y); DX = 一個（尺寸（DY））； % 生成繪圖值 quiver(X, Y, DX, DY, 'k'); % 在 blackhold 上繪制方向場；contour(X, Y, DY, [0 1 2], 'g'); % 在 greentitle('Slope field and isoclines for f(x,y)=(2-y)y') 中添加等傾線（0 1 2）

從圖中可以看出，函數 ( 2 ? y ) y {displaystyle left(2-yright)y} 是 x {displaystyle x} -不變的，因此是形狀 解，即 y ( x ) = y ( x ? x 0 ) {displaystyle y(x)=y(x-x_{0})} 對于任何偏移 x 0 {displaystyle x_{0}} 。

通過運行在 MATLAB 中以符號方式求解方程

syms y(x);equation = (diff(y) == (2 - y) * y);% symbolyly_general = dsolve(equation);

獲得兩個平衡解， y = 0 {displaystyle y=0} 和 y = 2 {displaystyle y=2} ，第三個解涉及未知常數 C 3 {displaystyle C_{3}} ,- 2 / (exp(C3 - 2 * x) - 1)。

可以使用相空間對自治系統進行定性分析； 在單變量情況下，這是相線。

以下技術適用于一維自治微分方程。 任何 n {displaystyle n} 階的一維方程等同于 n {displaystyle n} 維一階系統（如簡化為一階系統中所述），但反之則不一定。

一階自治方程 d x d t = f ( x ) {displaystyle {frac {dx}{dt}}=f(x)} 是可分離的，因此可以通過將其重新排列為積分來求解。