調和分析是數學的一個分支，涉及將函數或信號表示為基本波的疊加，以及傅里葉級數和傅里葉變換（即傅里葉分析的擴展形式）概念的研究和推廣。 在過去的兩個世紀里，它已經成為一個廣泛的學科，在數論、表示論、信號處理、量子力學、潮汐分析和神經科學等不同領域都有應用。

諧波一詞起源于古希臘語 harmonikos，意思是音樂技巧。 在物理特征值問題中，它開始指的是頻率是彼此整數倍的波，就像音符的諧波頻率一樣，但這個術語已經超出了它的原始含義。

Rn 上的經典傅里葉變換仍然是一個正在進行的研究領域，特別是關于更一般對象（如回火分布）的傅里葉變換。 例如，如果我們對分布 f 施加一些要求，我們可以嘗試將這些要求轉換為 f 的傅立葉變換。 佩利-維納定理就是一個例子。 Paley-Wiener 定理立即暗示如果 f 是緊支撐的非零分布（包括緊支撐的函數），那么它的傅里葉變換永遠不會緊支撐（即如果信號在一個域內受限，則在整個域內是無限的） 其他）。 這是諧波分析設置中不確定性原理的一種非常基本的形式。

傅里葉級數可以在希爾伯特空間的背景下方便地研究，它提供了調和分析和泛函分析之間的聯系。 傅立葉變換有四種版本，具體取決于變換映射的空間（離散/周期-離散/周期：離散傅立葉變換，連續/周期-離散/非周期：傅立葉級數，離散/非周期-連續/周期 : 離散時間傅立葉變換，連續/非周期-連續/非周期：傅立葉變換)。

起源于 20 世紀中葉的調和分析最現代的分支之一是對拓撲群的分析。 核心激勵思想是各種傅立葉變換，它們可以推廣到定義在豪斯多夫局部緊拓撲群上的函數變換。

阿貝爾局部緊群的理論稱為 Pontryagin 對偶性。

調和分析研究了對偶性和傅立葉變換的性質，并嘗試將這些特征擴展到不同的設置，例如，非交換李群的情況。

對于一般的非阿貝爾局部緊群，調和分析與酉群表示理論密切相關。 對于緊群，Peter-Weyl 定理解釋了如何通過從每個等價表示類中選擇一個不可約表示來獲得諧波。 這種諧波的選擇享有經典傅立葉變換的一些有用特性，在將卷積帶入逐點乘積方面，或者以其他方式顯示對基礎群結構的某種理解。 另請參閱：非交換調和分析。

如果群既不是阿貝爾群也不是緊群，則目前還沒有普遍令人滿意的理論（令人滿意意味著至少與 Plancherel 定理一樣強大）。 但是，已經分析了許多具體情況，例如 SLn。 在這種情況下，無限維度的表示起著至關重要的作用。

• 對拉普拉斯算子在域、流形和（較小程度上）圖上的特征值和特征向量的研究也被視為調和分析的一個分支。 參見，例如，聽到鼓的形狀。
• 歐氏空間的調和分析處理 Rn 上的傅里葉變換的性質，這些性質在一般群上沒有模擬。 例如，傅里葉變換是旋轉不變的。 將傅立葉變換分解為其徑向和球面分量會引出貝塞爾函數和球諧函數等主題。
• 關于管域的調和分析涉及將哈代空間的性質推廣到更高維度。

諧波分析在科學和工程中的許多應用都是從這樣的想法或假設開始的，即一種現象或信號是由單個振蕩分量的總和組成的。 海洋潮汐和振動弦是常見而簡單的例子。 理論方法通常是嘗試通過微分方程或方程組來描述系統，以預測基本特征，包括振幅、頻率和振蕩分量的相位。 具體方程取決于領域，但理論通常會嘗試選擇代表適用的主要原理的方程。