（雙向）波動方程是一個二階線性偏微分方程，用于描述波或駐波場——正如它們出現在經典物理學中——例如機械波（例如水波、聲波和地震波）或 電磁波（包括光波）。 它出現在聲學、電磁學和流體動力學等領域。 沿預定方向傳播的單個機械波或電磁波也可以用一階單向波動方程來描述，該方程更容易求解并且對非均勻介質也有效。

（雙向）波動方程是描述波的二階偏微分方程，包括行波和駐波； 后者可以被認為是沿相反方向傳播的波的線性疊加。 本文主要關注通過一個時間變量t（代表時間的變量）和一個或多個空間變量x1的標量函數u = u (x1, x2, ..., xn; t)描述標量中的波的標量波動方程 , x2, ..., xn（表示所討論空間中位置的變量），而有矢量波動方程描述矢量中的波，例如電場，磁場和磁矢量勢和彈性波的波。 與矢量波動方程相比，標量波動方程可以看作是矢量波動方程的一個特例； 在笛卡爾坐標系中，標量波動方程是所考慮域中沒有波源的矢量波的每個分量（對于每個坐標軸，例如x分量為x軸）所要滿足的方程（ 即，空間和時間）。 例如在笛卡爾坐標系中，對于 ( E x , E y , E z ) {displaystyle (E_{x},E_{y},E_{z})} 作為電矢量場波的表示 E → {displaystyle {vec {E}}} 在沒有波源的情況下，每個坐標軸分量 E i {displaystyle E_{i}} (i = x, y, or z) 必須滿足 標量波動方程。 其他標量波動方程解 u 適用于標量中的物理量，例如液體或氣體中的壓力，或振動固體粒子沿某個特定方向遠離其靜止（平衡）位置的位移。

換一種說法：

• u 是表示相對于靜止狀態的位移的因素 - 它可以是氣壓高于或低于正常值，或者池塘中的水位高于或低于靜止狀態，或者其他。
• t代表時間。
• ? 2 u ? t 2 {displaystyle {frac {partial {2}u}{partial t{2}}}} 是位移如何加速的術語，即不是速度 位移變化的速度，但實際上位移速度本身變化的速度 - 它的加速度。
• x代表空間或位置。
• ? 2 u ? x 1 2 {displaystyle {frac {partial {2}u}{partial x_{1}{2}}}} 是位移如何變化的術語 在其中一個維度中的 x 點（如圖形上的軸之一）。 它不是位移在空間中變化的速率，而是變化本身在空間中變化的速率——它的二重導數。 換句話說，這個術語表示位移的變化是如何在一個微小的周圍區域中被擠壓的。

該方程表明，在任何給定的情況下，在任何給定的點，位移加速的方式與位移變化在周圍區域中被擠壓的方式成正比。

或者用更簡單的術語來說，位移被推動的方式與位移的尖銳程度成正比，反之亦然。

使用牛頓力學和矢量微積分的符號，波動方程可以更緊湊地寫成

u ¨ = c 2 ? 2 u {displaystyle {ddot {u}}=c{2}nabla {2}u} .

其中 u 上的雙點 ¨ {displaystyle {ddot {u}}} 表示 u 的雙時間導數，? 是 nabla 算子，而 ?2 = ? · ? 是（空間）拉普拉斯算子（不是向量 拉普拉斯算子): u ¨ = ? 2 u ? t 2 ? = ( ? ? x 1 , ? ? x 2 , … , ? ? x n ) ? 2 = ? 2 ? x 1 2 + ? 2 ? x 2 2 + ? + ? 2 ? x n 2 。