共變導數

在數學中，協變導數是一種指定沿流形的切向量的導數的方法。 或者，協變導數是一種通過微分算子在流形上引入和處理連接的方法，與框架叢上的主連接給出的方法形成對比——參見仿射連接。 在流形等距嵌入高維歐氏空間的特殊情況下，協變導數可以看作是歐氏方向導數在流形切線空間上的正交投影。 在這種情況下，歐幾里德導數被分成兩部分，外在正常分量（取決于嵌入）和內在協變導數分量。

這個名字的動機是坐標變化在物理學中的重要性：協變導數在一般坐標變換下進行協變變換，即通過變換的雅可比矩陣線性變換。

本文介紹了矢量場相對于矢量場的協變導數，既使用坐標自由語言，也使用局部坐標系和傳統索引符號。 張量場的協變導數作為同一概念的擴展呈現。 協變導數直接概括為與向量叢上的連接相關聯的微分概念，也稱為 Koszul 連接。

關鍵特征不是對度量的特別依賴，而是 Christoffel 符號滿足某種精確的二階變換法則。 這種變換法則可以作為以協變方式定義導數的起點。 因此，協變微分理論從嚴格的黎曼語境中分離出來，包括更廣泛的可能幾何。

Koszul 連接消除了在微分幾何中對 Christoffel 符號（和其他類似的非張量對象）進行笨拙操作的需要。

協變導數是向量微積分的方向導數的推廣。與通常的方向導數的主要區別是 ? u v {dISPlaystyle nabla _{mathbf {u} }{ mathbf {v} }} 必須在某種精確意義上獨立于它在坐標系中的表達方式。

一個向量可以被描述為一個基于基的數字列表，但作為一個幾何對象，無論它如何被描述，向量都保持其身份。 對于一個基寫成分量的幾何向量，當基改變時，分量根據基公式的變化進行變換，坐標進行協變變換。