共變導數
編輯在數學中,協變導數是一種指定沿流形的切向量的導數的方法。 或者,協變導數是一種通過微分算子在流形上引入和處理連接的方法,與框架叢上的主連接給出的方法形成對比——參見仿射連接。 在流形等距嵌入高維歐氏空間的特殊情況下,協變導數可以看作是歐氏方向導數在流形切線空間上的正交投影。 在這種情況下,歐幾里德導數被分成兩部分,外在正常分量(取決于嵌入)和內在協變導數分量。
這個名字的動機是坐標變化在物理學中的重要性:協變導數在一般坐標變換下進行協變變換,即通過變換的雅可比矩陣線性變換。
本文介紹了矢量場相對于矢量場的協變導數,既使用坐標自由語言,也使用局部坐標系和傳統索引符號。 張量場的協變導數作為同一概念的擴展呈現。 協變導數直接概括為與向量叢上的連接相關聯的微分概念,也稱為 Koszul 連接。
歷史
編輯關鍵特征不是對度量的特別依賴,而是 Christoffel 符號滿足某種精確的二階變換法則。 這種變換法則可以作為以協變方式定義導數的起點。 因此,協變微分理論從嚴格的黎曼語境中分離出來,包括更廣泛的可能幾何。
Koszul 連接消除了在微分幾何中對 Christoffel 符號(和其他類似的非張量對象)進行笨拙操作的需要。
動機
編輯協變導數是向量微積分的方向導數的推廣。與通常的方向導數的主要區別是 ? u v {dISPlaystyle nabla _{mathbf {u} }{ mathbf {v} }} 必須在某種精確意義上獨立于它在坐標系中的表達方式。
一個向量可以被描述為一個基于基的數字列表,但作為一個幾何對象,無論它如何被描述,向量都保持其身份。 對于一個基寫成分量的幾何向量,當基改變時,分量根據基公式的變化進行變換,坐標進行協變變換。
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