橢圓曲線密碼學

橢圓曲線密碼學 (ECC) 或橢圓曲線密碼學，表示非對稱密碼系統，它使用有限實體上的橢圓曲線操作。 僅當無法有效計算橢圓曲線點集中的離散對數時，這些方法才是安全的。

任何基于有限域中離散對數的方法，可以很容易地轉化為橢圓曲線，從而轉化為橢圓曲線密碼體制。 原始方法中在有限域上使用的運算（乘法和求冪）被橢圓曲線上的點上的相應運算（點加法和標量乘法）代替。 將一個點 P 與其自身相加 n次記為 n P 并對應于 x n 在原始過程中。

可以在橢圓曲線上定義加性循環群，由曲線上的點的倍數組成，即群的生成元。 在組中添加兩個點很容易，但是有些曲線很難對點 A? 進行“標量除法”，即 即，沒有已知的有效方法來獲得自然數 a 和 a P = A。 因此，在這些曲線上的乘法群中存在類似于離散對數問題 (DLP) 的問題，也稱為 DLP。

此外，還有曲線 E ，在其上雙線性映射 e : E × E → G? 到群 G 稱為配對存在。 在這些曲線中，DDH 很簡單，因為 e ( a P , b P ) = e ( P , a b P )? 成立，但配對的存在允許它有許多新穎的應用。

由于橢圓曲線中的離散對數問題 (ECDLP) 比有限域中的離散對數計算或整數分解要困難得多，因此基于橢圓曲線的密碼系統——具有相當的安全性——使用比短得多的密鑰就可以解決問題傳統的非對稱加密方法。 根據目前的知識。 例如，對于 160 位的密鑰長度，安全性類似于使用 1024 位的 RSA 實現的安全性。因此，ECC 特別適用于存儲或計算能力有限的情況，例如在智能卡或其他嵌入式系統中。

安全等級欄是指相對安全的對稱加密算法的比特長度。

橢圓曲線上的數xxx算比相對較大的有限體或 RSA 模塊中的運算更復雜。 然而，使用明顯更短的密鑰，可以獲得與基于離散對數或 RSA 的方法相當的安全級別。 除其他事項外，較短的鍵可以橢圓曲線-因此，具有可比安全級別的加密系統將更快。 然而，這些密碼方法的計算效率的比較在很大程度上取決于實現的細節（密碼參數、算法、優化、編程語言和編譯器、底層硬件）。

橢圓曲線密碼學受現代 Windows 操作系統的支持。