平穩過程

平穩隨機過程是一種特殊的隨機過程，因此是概率論的研究對象。 一是區分

• 弱平穩過程（很少也稱為協方差平穩過程）
• 強平穩過程，其中添加的“強”經常被省略，人們只說平穩過程。

兩者都具有與時間無關的特性。

平穩性是時間序列分析中隨機過程最重要的特性之一。 有了平穩性，人們獲得的屬性不僅對各個時間點有效，而且隨著時間的推移保持不變。 時間序列在所有時間點具有相同的期望值和相同的方差。 （最重要的一類非平穩過程是集成過程。）

有了第 一個屬性，我們可以繼續進行新的過程 x t ? E ( x t ) 那么 E ( x t ? E ( x t ) ) = 0成立。 此過程也稱為居中過程。 因此，我們可以不失一般性地假設平穩隨機過程的均值為 0。

第二個性質簡單地說，每個隨機變量都有有限方差，因此屬于希爾伯特空間 L 2。 由此得出期望值 E ( x t ) 存在。

第三個要求建立了不同時間點之間的關系，因此是最重要的屬性。 它指出時間點之間的協方差不取決于兩個時間點本身，而僅取決于兩個時間點之間的距離 r = t 2 ? t 1兩個時間點。 條件也可以這樣表述： 1} +r})} 是一個變量 r 的函數。 其結果之一是 Γ = E ( x x ? ) ? E ( x ) E ( x ? ) 是無限塊 Toeplitz 矩陣。

單變量情況（ n = 1 {\displaystyle n=1} ）的幾何解釋使用希爾伯特空間 L 2 {\displaystyle L^{2}} ，其元素是過程的各個隨機變量。 幾何解釋支持對平穩性概念的更深入理解。

由于 E ( x t 2 ) 是 L 2 中的范數，要求 E ( x t 2 ) = γ ( 0 )? 可以理解為所有過程變量具有相同的長度，即 H。 躺在一個球上。

E ( x t + s x t ) = γ ( s ) 然后，根據上述解釋，對于固定的 s 所有 x t? 圍成相同的角度。 如果你將 s增加一，旋轉總是繼續相同的角度。

要求 (ii) 無非是 ? x t , 1 ? = m ，即單元和每個過程變量之間的角度是恒定的。 這里從單位球體中切出一個緯度。

使非平穩時間序列平穩是一項重要的首要任務我的時間序列分析。 這里常用的方法是形成差異、重新縮放或對時間序列取對數。 更一般地說，人們可以嘗試使用適當的趨勢-季節性模型獲得固定時間序列。

最重要的（弱）平穩過程是白噪聲。 此外，某些高斯過程和 ARMA 模型是固定的。 在某些條件下穩定的諧波過程也具有理論上的重要性。 此外，以平穩分布開始的馬爾可夫鏈是平穩過程。

離散時間的平穩隨機過程，作為典型過程給出，可以理解為保測動態系統。

然后 X n ( ω ) = X 0 ( τ n ( ω ) ) 并且過程由τ 的迭代應用。 因此，它是一個動態系統，由于其平穩性而保持維度。 在此基礎上，還可以定義遍歷隨機過程，應用遍歷理論的重要定理，如個體遍歷定理，從而為隨機變量的相關序列提供強大數定律。