陀螺

陀螺是繞軸旋轉的（剛體）體。它可以自由移動（自由陀螺），但也可以在某個方向上受到軸的約束（綁定陀螺）。陀螺在物理學上不一定非要旋轉對稱。

陀螺或陀螺儀（希臘語）也用于描述執行與陀螺儀器類似任務的測量儀器，即使它們不包含旋轉陀螺。例如激光陀螺儀、光纖陀螺儀或振動陀螺儀。

兒童玩具陀螺也作為兒童玩具，在一個表面上繞垂直軸旋轉，然后在同一方向保持一段時間，陀螺在表面上四處游蕩（玩具陀螺的例子）。陀螺是考古遺址中發現的最古老的玩具之一。除了作為玩具，陀螺在歷史上還被用于賭博和占 卜。

• 工程中的軸穩定性, 陀螺用于穩定和導航，因為角動量的方向在沒有扭矩作用時保持不變。其原因是角動量守恒。如果旋轉軸與角動量的方向重合，則也不改變。
• 作為能量存儲。

當安裝在萬向架上時，圍繞其圖形軸旋轉的陀螺保持其在空間中的方向，即使承載框架被扭曲也是如此。 通過懸架的軸承摩擦作用的少量扭矩產生可忽略不計的小角動量變化，不會導致旋轉軸發生可觀察到的變化。 與靜止的陀螺相比，需要較大的外部力矩來改變方向。

此外，可以觀察到：如果試圖傾斜旋轉陀螺的旋轉軸，則可以記錄垂直于旋轉軸傾斜方向的力。 陀螺旋轉得越快，產生的力（也稱為陀螺力）就越大。 這可以用陀螺的高角動量來解釋，它必須改變方向。它的變化發生在旋轉軸傾斜的方向上，需要在傾斜平面內的扭矩。 要施加的扭矩導致垂直于傾斜方向施加力。

相反，垂直于旋轉陀螺的扭矩不會導致它改變繞扭矩軸的方向，而是在扭矩軸的方向上傾斜。

陀螺行為的解釋在計算上可能是合乎邏輯的，但角動量本身并不是一個非常明確的量。 因此，為了檢查過程的合理性，現在假設一個物體被包圍在陀螺中。 只要陀螺繞著自己的身形軸穩定旋轉，它只需要對封閉體施加一個向心力即可。

當陀螺的旋轉軸傾斜并分析身體的運動時，它變得令人興奮。 然后封閉的物體也沿傾斜方向移動，但不斷改變側面并因此改變其運動方向，即其速度。

在垂直于傾斜平面的方向上，封閉體進行正弦振蕩。這意味著在頂點和“零交叉”處有一個靜止點，當改變傾翻側時，“傾翻速度”的變化最 大，因此發生最 大的力效應。 所以陀螺想在傾斜的時候向側面突圍。

如果陀螺的角速度 ω 明顯大于傾斜角速度 Ω，則應用以下近似計算。 角動量 d L → 的變化是由角度 dφ 和傾斜軸方向 e → Ω 根據以下公式。 叉積意味著只有垂直于傾斜軸 e → Ω 的角動量分量才有意義。 忽略平行于傾斜軸的部分。

角度 dφ 隨時間 dt 的變化也表示傾斜角速度 Ω. 在下一步中，將角動量的變化插入歐拉角動量定律。 所產生的扭矩 M 由陀螺參數旋轉速率 ω 和圖形軸的慣性矩 I 以及傾斜角速度 Ω 得出。

慣性矩是陀螺在不圍繞其主要慣性軸之一旋轉時改變其旋轉軸的嘗試的量度。

陀螺運動的推廣源于角動量定律。 角動量 L →由慣性張量 Iˉ? 和角速度 ω →? 的陀螺。 正如平移運動的質量表示物體加速的“難”程度一樣，旋轉運動的慣性張量描述了改變陀螺的旋轉有多“難”。 陀螺繞各個旋轉軸旋轉的慣性矩總結在慣性張量中，如果用它隨時間的導數來計算角動量的變化，則結果為：

M → = L → ˙ = d d t ( I ˉ ? ω → ) = ω → × ( I ˉ ? ω → ) + I ˉ ω → ˙

通過旋轉到慣性張量形成對角矩陣的參考系統，向量的各個分量可以重新表示為一個特別簡單的微分方程組。 它們以發現者萊昂哈德·歐拉 (Leonhard Euler) 的名字命名為歐拉 (Euler) 方程。

按屬性：

• 在一個對稱的陀螺中，至少有兩個主慣性矩是相同的。 本組包括旋轉對稱的玩具陀螺或兩側等長的長方體。 它的一個主軸與圖形的軸重合。 垂直于它，通過它的重心，它有無數條相等的赤道主軸。 對稱陀螺的慣性橢球總是旋轉對稱的。
• 在扁平的陀螺或扁圓的陀螺（如圓盤）中，地軸的轉動慣量大于赤道軸。 (I1 = I2 < I3)
• 另一方面，延長的陀螺或延長的陀螺（例如桿）在圖形軸方向上的慣性矩比在其他軸上的慣性矩小。 (I1 = I2 > I3)
• 對于球形陀螺，所有三個主慣性矩都相等。 例子是立方體和球。 球體也有無數個相等的主軸。 (I1 = I2 = I3)
• 如果存在三個不同的主慣性矩，則稱為不對稱陀螺。

暫停后：

• 如果沒有外部力矩作用在陀螺上，則陀螺是無力的； 也就是說，重心以外的所有外力必須相互抵消。 為此，陀螺的接觸點必須正好在陀螺的重心下方，作為云臺懸掛（重心在云臺中心），或者作為小剪陀螺（直接支撐在中心下面挖空的陀螺身體的重力）。
• 無力對稱陀螺的運動方程比重陀螺更容易求解。 它的運動通常包括自轉和章動。在章動中，角動量和瞬時旋轉軸具有不同的方向。
• 當慣性力矩是有方向的（慣性力矩不完全相等）并且旋轉不圍繞主慣性力矩的軸時，就會發生這種情況。如果陀螺不對稱，會導致更復雜的動作。

• 相反的是沉重的陀螺：例如，如果玩具陀螺呈一定角度，重力會試圖將其翻倒。 由于產生的扭矩垂直于角動量，因此角動量僅改變方向。 陀螺繞著通過支撐點的軸垂直向上旋轉。 這種旋轉稱為進動。 運動方程只能近似求解（尤其是快速陀螺）。