殘差平方和

殘差平方和，是指所有觀測值的平方（最小二乘）殘差（觀測值與預測值之間的偏差）之和。 由于首先形成偏差平方（此處為殘差平方），然后對所有觀測值求和，因此表示偏差平方和。殘差平均值是線性模型的質量標準，描述了模型的不準確性。 它捕獲了觀察值圍繞目標變量的預測值的散布，即樣本回歸線無法解釋的散布。 因此也稱為不明偏差平方和（或簡稱不明偏差平方和）。 除了殘差平方和，總平方和和解釋平方和在統計中也起著重要作用。

要執行全局 F 檢驗，通常需要均方。 如果將殘差水平和除以殘差自由度，則得到平均殘差平方。 然后，全局 F 檢驗的檢驗統計量由“解釋偏差的均方”與“殘差的均方”的商給出。

下面的例子應該顯示殘差水平和的計算。 隨機抽取10艘戰艦（見戰艦數據），按長寬（米）進行分析。 考察一艘軍艦的寬度是否可能與長度有固定關系。

散點圖表明船的長度和寬度之間存在線性關系。 使用最小二乘估計執行的簡單線性回歸給出絕 對項 β ^ 0 = ? 8.645 0715。

該等式表示估計寬度 y ^ = b r e i t e ^ {dISPlaystyle， 作為長度的函數 x = l a ¨ n g e. 該函數顯示所選戰艦的寬度大約是其長度的六分之一。

除了測量值的總平方和574.849 m 2外，表格還顯示殘差平方和（最后列）44.740 5 m 2 閱讀。 基于這兩個變量，還可以計算決定系數。

如果觀測值呈多維正態分布，則殘差平均值和 S Q R 與誤差方差 σ 2? 的商服從卡方分布，其中 n ? p，自由度如下：

S Q R σ 2 = ε ^ ? ε ^ σ 2 = ( n ? p ) σ ^ 2 σ 2 ～ χ 2 ( n ? p )

其中 σ ^ 2 表示干擾變量方差的無偏估計。

可以證明殘差平面和 σ 2 ( n ? k ? 1 ) {diSPlaystyle sigma ^{2}(n-k-1)} 結果的期望值

E ? ( ε ^ ? ε ^ ) = E ? ( ε ? ( I ? X ( X ? X ) ? 1 X ? ) ε ) = σ 2 ( n ? k ? 1 )