導數

導數（Derivative）是微積分中的重要基礎概念。

大約在1629年，法國數學家費馬研究了作曲線的切線和求函數極值的方法；1637年左右，他寫一篇手稿《求xxx值與最小值的方法》。在作切線時，他構造了差分，發現的因子E就是我們所說的導數。

17世紀生產力的發展推動了自然科學和技術的發展，在前人創造性研究的基礎上，大數學家牛頓、萊布尼茨等從不同的角度開始系統地研究微積分。牛頓的微積分理論被稱為“流數術”，他稱變量為流量，稱變量的變化率為流數，相當于我們所說的導數。牛頓的有關“流數術”的主要著作是《求曲邊形面積》、《運用無窮多項方程的計算法》和《流數術和無窮級數》，流數理論的實質概括為：他的重點在于一個變量的函數而不在于多變量的方程；在于自變量的變化與函數的變化的比的構成；最在于決定這個比當變化趨于零時的極限。

1750年達朗貝爾在為法國科學家院出版的《百科全書》第四版寫的“微分”條目中提出了關于導數的一種觀點，可以用現代符號簡單表示：1823年，柯西在他的《無窮小分析概論》中定義導數：如果函數

在變量

的兩個給定的界限之間保持連續，并且我們為這樣的變量指定一個包含在這兩個不同界限之間的值，那么是使變量得到一個無窮小增量。19世紀60年代以后，魏爾斯特拉斯創造了

語言，對微積分中出現的各種類型的極限重加表達。微積分學理論基礎，大體可以分為兩個部分。一個是實無限理論，即無限是一個具體的東西，一種真實的存在；另一種是潛無限理論，指一種意識形態上的過程，比如無限接近。就數學歷史來看，兩種理論都有一定的道理，實無限就使用了150年。光是電磁波還是粒子是一個物理學長期爭論的問題，后來由波粒二象性來統一。微積分無論是用現代極限論還是150年前的理論，都不是xxx的方法。

設函數在點的某個鄰域內有定義，當自變量在處有增量也在該鄰域內時，相應地函數取得增量；如果與之比當時極限存在，則稱函數在點處可導，并稱這個極限為函數在點處的導數記作 ：①②③即需要指出的是：兩者在數學上是等價的。

如果函數

在開區間內每一點都可導，就稱函數

在區間內可導。這時函數

對于區間內的每一個確定的

值，都對應著一個確定的導數值，這就構成一個新的函數，稱這個函數為原來函數

的導函數，記作或，簡稱導數。導數是微積分的一個重要的支柱。牛頓及萊布尼茨對此做出了貢獻。

函數在點的導數的幾何意義：表示函數曲線在點處的切線的斜率（導數的幾何意義是該函數曲線在這一點上的切線斜率）。

簡單函數

1、導數的四則運算：

2、原函數與反函數導數關系（由三角函數導數推反三角函數的）：的反函數是，則有。3、復合函數的導數：復合函數對自變量的導數，等于已知函數對中間變量的導數，乘以中間變量對自變量的導數（稱為鏈式法則）。4、變限積分的求導法則：(為子函數)

計算已知函數的導函數可以按照導數的定義運用變化比值的極限來計算。在實際計算中，大部分常見的解析函數都可以看作是一些簡單的函數的和、差、積、商或相互復合的結果。只要知道了這些簡單函數的導函數，那么根據導數的求導法則，就可以推算出較為復雜的函數的導函數。

由基本函數的和、差、積、商或相互復合構成的函數的導函數則可以通過函數的求導法則來推導。基本的求導法則如下：1、求導的線性：對函數的線性組合求導，等于先對其中每個部分求導后再取線性組合（即①式）。2、兩個函數的乘積的導函數：一導乘二+一乘二導（即②式）。3、兩個函數的商的導函數也是一個分式：（子導乘母-子乘母導）除以母平方（即③式）。4、如果有復合函數，則用鏈式法則求導。

高階導數的求法1．直接法：由高階導數的定義逐步求高階導數。一般用來尋找解題方法。2．高階導數的運算法則：

（二項式定理）3．間接法：利用已知的高階導數公式，通過四則運算，變量代換等方法。注意：代換后函數要便于求，盡量靠攏已知公式求出階導數。

為了便于記憶，有人整理出了以下口訣：

• 常為零，冪降次
• 對倒數（e為底時直接倒數，a為底時乘以）
• 指不變（特別的，自然對數的指數函數完全不變，一般的指數函數須乘以）
• 正變余，余變正
• 切割方（切函數是相應割函數（切函數的倒數）的平方）
• 割乘切，反分式

⑴若導數大于零，則單調遞增；若導數小于零，則單調遞減；導數等于零為函數駐點，不一定為極值點。需代入駐點左右兩邊的數值求導數正負判斷單調性。⑵若已知函數為遞增函數，則導數大于等于零；若已知函數為遞減函數，則導數小于等于零。根據微積分基本定理，對于可導的函數，有：如果函數的導函數在某一區間內恒大于零（或恒小于零），那么函數在這一區間內單調遞增（或單調遞減），這種區間也稱為函數的單調區間。導函數等于零的點稱為函數的駐點，在這類點上函數可能會取得極大值或極小值（即極值可疑點）。進一步判斷則需要知道導函數在附近的符號。對于滿足的一點，如果存在使得在之前區間上都大于等于零，而在之后區間上都小于等于零，那么是一個極大值點，反之則為極小值點。x變化時函數（藍色曲線）的切線變化。函數的導數值就是切線的斜率，綠色代表其值為正，紅色代表其值為負，黑色代表值為零。以上內容來自：

可導函數的凹凸性與其導數的單調性有關。如果函數的導函數在某個區間上單調遞增，那么這個區間上函數是向下凹的，反之則是向上凸的。如果二階導函數存在，也可以用它的正負性判斷，如果在某個區間上恒大于零，則這個區間上函數是向下凹的，反之這個區間上函數是向上凸的。曲線的凹凸分界點稱為曲線的拐點。

另外在對雙曲函數

等以及反雙曲函數

等和其他較復雜的復合函數求導時通過查閱導數表和運用開頭的公式與

均能較快捷地求得結果。對于

有更直接的求導方法。下面對

進行求導,由指數函數定義可知，

等式兩邊取自然對數:等式兩邊對求導，注意是對的復合函數

冪函數同理可證。導數說白了它其實就是曲線一點切線的斜率，函數值的變化率。上面說的分母趨于零，這是當然的了，但不要忘了分子也是可能趨于零的，所以兩者的比就有可能是某一個數，如果分子趨于某一個數，而不是零的話，那么比值會很大，可以認為是無窮大，也就是我們所說的導數不存在。

例如，魏爾斯特拉斯函數(Weierstrass function)就是一類處處連續而處處不可導的實值函數。魏爾斯特拉斯函數是一種無法用筆畫出任何一部分的函數，因為每一點的導數都不存在，畫的人無法知道每一點該朝哪個方向畫。魏爾斯特拉斯函數的每一點的斜率也是不存在的。魏爾斯特拉斯函數得名于十九世紀的德國數學家卡爾·魏爾斯特拉斯(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass，1815–1897)。歷史上，魏爾斯特拉斯函數是一個著名的數學反例。魏爾斯特拉斯之前，數學家們對函數的連續性認識并不深刻。許多數學家認為除了少數一些特殊的點以外，連續的函數曲線在每一點上總會有斜率。魏爾斯特拉斯函數的出現說明了所謂的“病態”函數的存在性，改變了當時數學家對連續函數的看法。

導數與物理，幾何，代數關系密切：在幾何中可求切線；在代數中可求瞬時變化率；在物理中可求速度、加速度。導數亦名紀數、微商（微分中的概念），是由速度變化問題和曲線的切線問題（矢量速度的方向）而抽象出來的數學概念，又稱變化率。如一輛汽車在10小時內走了 600千米，它的平均速度是60千米/小時。但在實際行駛過程中，是有快慢變化的，不都是60千米/小時。