方程

方程（equation）是指含有未知數的等式。是表示兩個數學式（如兩個數、函數、量、運算）之間相等關系的一種等式，使等式成立的未知數的值稱為“解”或“根”。求方程的解的過程稱為“解方程”。

早在3600年前，古埃及人寫在草紙上的數學問題中，就涉及了方程中含有未知數的等式。公元825年左右，中亞細亞的數學家阿爾·花拉子米曾寫過一本名叫《對消與還原》的書，重點討論方程的解法。

方程中文一詞出自古代數學專著《“方”意為并列，“程”意為用算籌表示豎式。九章算術卷第八（一）為：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何？（現今有上等黍3捆、中等黍2捆、下等黍1捆，打出的黍共有39斗；有上等黍2捆、中等黍3捆、下等黍1捆，打出的黍共有34斗；有上等黍1捆、中等黍2捆、下等黍3捆，打出的黍共有26斗。問1捆上等黍、1捆中等黍、1捆下等黍各能打出多少斗黍？）答曰：上禾一秉，九斗、四分斗之一，中禾一秉，四斗、四分斗之一，下禾一秉，二斗、四分斗之三。方程術曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗，于右方。中、左禾列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次，亦以直除。然以中行中禾不盡者遍乘左行而以直除。左方下禾不盡者，上為法，下為實。實即下禾之實。求中禾，以法乘中行下實，而除下禾之實。余如中禾秉數而一，即中禾之實。求上禾亦以法乘右行下實，而除下禾、中禾之實。余如上禾秉數而一，即上禾之實。實皆如法，各得一斗。以上是出自《九章算術》中的三元一次方程組，并展示了用“遍乘直除”來消元以解此方程組。魏晉時期的大數學家劉徽在公元263年前后為《九章算術》作了大量注釋，介紹了方程組：二物者再程，三物者三程，皆如物數程之。并列為行，故謂之方程。他還創立了比“遍乘直除”更簡便的“互乘相消”法來解方程組。

方法一：1.能計算的先計算； 2.轉化——計算——結果方法二：從前往后算，算到只剩一個數時便可直接計算。

方程式或簡稱方程，是含有未知數的等式。即：⒈方程中一定有含一個或一個以上未知數的代數式；2.方程式是等式，但等式不一定是方程。未知數：通常設x.y.z為未知數，也可以設別的字母，全部小寫字母都可以。“次”：方程中次的概念和整式的“次”的概念相似。指的是含有未知數的項中，未知數次數最高的項。而次數最高的項，就是方程的次數。“解”：方程的解，指使，方程的根是方程兩邊相等的未知數的值，指一元方程的解，兩者通常可以通用。解方程：求出方程的解的過程，也可以說是求方程中未知數的值的過程，或說明方程無解的過程叫解方程。方程中，恒等式叫做恒等方程，矛盾式叫做矛盾方程。在未知數等于某特定值時，恰能使等號兩邊的值相等者稱為條件方程，例如，在 時等號成立。使方程左右兩邊相等的未知數的值叫做方程的解。同解方程：如果兩個方程的解相同，那么這兩個方程叫做同解方程。方程的同解原理：⒈方程的兩邊都加或減同一個數或同一個等式所得的方程與原方程是同解方程。⒉方程的兩邊同乘或同除同一個不為0的數所得的方程與原方程是同解方程。整式方程：方程的兩邊都是關于未知數的整式的方程叫做整式方程。分式方程：分母中含有未知數的方程叫做分式方程。

只含有一個未知數，且未知數次數是一的整式方程叫一元一次方程（linear equation with one unknown）。通常形式是

(a，b為常數，且a≠0）。一般解法

1. 去分母 方程兩邊同時乘各分母的最小公倍數。
2. 去括號 一般先去小括號，再去中括號，最后去大括號。但順序有時可依據情況而定使計算簡便。可根據乘法分配律。
3. 移項 把方程中含有未知數的項移到方程的另一邊，其余各項移到方程的另一邊移項時別忘記了要變號。(一般都是這樣：（比方）從得到

   ；把未知數移到一起！

4. 合并同類項 將原方程化為的形式。
5. 化系數為一 方程兩邊同時除以未知數的系數。
6. 得出方程的解。

例如：

解：

（注：解方程時xxx把等號對齊）

教學目標

1. 使學生初步掌握一元一次方程解簡單應用題的方法和步驟；并會列出一元一次方程解簡單的應用題
2. 培養學生觀察能力，提高他們分析問題和解決問題的能力
3. 使學生初步養成正確思考問題的良好習慣．

重點難點一元一次方程解簡單的應用題的方法和步驟．

上述分析過程可列表如下：解：設原來有x千克面粉，那么運出了15%x千克，由題意，得x-15%x=42500，x-15%x=42500解：(1-15%)x=4250085%x=42500x=42500÷85%x=50000所以 x=50000．答：原來有 50000千克面粉．此時，讓學生討論：本題的相等關系除了上述表達形式以外，是否還有其他表達形式？若有，是什么？(還有，原來重量=運出重量+剩余重量；原來重量-剩余重量=運出重量)教師應指出：(1)這兩種相等關系的表達形式與“原來重量-運出重量=剩余重量”，雖形式上不同，但實質是一樣的，可以任意選擇其中的一個相等關系來列方程(2)例2的解方程過程較為簡捷，同學應注意模仿．依據例2的分析與解答過程，首先請同學們思考列一元一次方程解應用題的方法和步驟；然后，采取提問的方式，進行反饋；最后，根據學生總結的情況，教師總結如下：(1)仔細審題，透徹理解題意．即弄清已知量、未知量及其相互關系；用字母(如x)表示題中的未知數(2)根據題意找出相等關系．(這是關鍵一步)(3)根據相等關系，正確列出方程．即所列的方程應滿足兩邊的量要相等；方程兩邊的代數式的單位要相同；題中條件應充分利用，不能漏也不能將一個條件重復利用等(4)求出所列方程的解(5)檢驗后明確地、完整地寫出答案．這里要求的檢驗應是，檢驗所求出的解既能使方程成立，又能使應用題有意義．

人教版7年級數學下冊第四章會學到，冀教版7年級數學下冊第九章會學到。在人教版九年級上英語講愛因斯坦時也會涉及

• 二元一次方程定義：一個含有兩個未知數，并且未知數的次數都是1的整式方程，叫二元一次方程(linear equation of two unknowns)。
• 二元一次方程組定義：由兩個二元一次方程組成的方程組，叫二元一次方程組(system of linear equation of two unknowns)。
• 二元一次方程的解：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的值，叫做二元一次方程的解。
• 二元一次方程組的解：二元一次方程組的兩個公共解，叫做二元一次方程組的解。

一般解法消元：將方程組中的未知數個數由多化少，逐一解決。

含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程，這樣的方程叫做一元二次方程(quadratic equation in one unknown)。由一次方程到二次方程是個質的轉變，通常情況下，二次方程無論是在概念上還是解法上都比一次方程要復雜得多。

一般解法一般解法有四種：⒈公式法（直接開平方法）⒉配方法3.因式分解法4.十字相乘法十字相乘法能把某些二次三項式分解因式。這種方法的關鍵是把二次項系數a分解成兩個因數a1,a2的積a1·a2，把常數項c分解成兩個因數c1,c2的積c1·c2，并使a1c2+a2c1正好是一次項b，那么可以直接寫成結果：在運用這種方法分解因式時，要注意觀察，嘗試，并體會它實質是二項式乘法的逆過程。當首項系數不是1時，往往需要多次試驗，務必注意各項系數的符號。例1 把

分解因式。分析：先分解二次項系數，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角，再分解常數項，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代數和，使其等于一次項系數.分解二次項系數(只取正因數)：

分解常數項：

.用畫十字交叉線方法表示下列四種情況：

斜線交叉相乘

斜線交叉相乘

斜線交叉相乘

與二元一次方程類似，三個結合在一起的含有三個未知數的一次方程

三元一次方程

與二元一次方程類似，可以利用消元法逐步消元。

解法

某地區為了鼓勵節約用水，對自來水的收費標準作如下規定：每月每戶用水不超過10噸按0.9元/噸收費；超過10噸而不超過20噸按1.6元/噸收費；超過20噸的部分按2.4元/噸收費。某月甲用戶比乙用戶多繳水費16元，乙用戶比丙用戶多繳水費7.5元。已知丙用戶用水不到10噸，乙用戶用水超過10噸但不到20噸。問：甲。乙。丙三用戶該月各繳水費多少元(按整噸計算收費)?解：設甲用水x噸，乙用水y噸，丙用水z噸顯然，甲用戶用水超過了20噸故甲繳費：0.9*10+1.6*10+2.4*(x-20)=2.4x-23乙繳費：0.9*10+1.6*(y-10)=1.6y-9丙繳費：0.9z2.4x-23=1.6y-7+161.6y-7=0.9z+7.5化簡得3x-2y=40……(1)16y-9z=145……(2)由(1)得x=(2y+40)/3所以設y=1+3k,3<k<7當k=4,y=13,x=22,代入(2)求得z=7當k=5,y=16,代入(2),z沒整數解當k=6,y=19,代入(2),z沒整數解所以甲用水22噸，乙用水13噸，丙用水7噸甲用水29.8元，乙用水13.8元，丙用水6.3元</CA>

設方程組①：

把方程(1)×(-i1/a1)加到（i）上，再把方程(2)×(-i2/a2)加到（i）上，以此類推。最后的許多0=0可以舍去，不影響方程的解。可以分三種情況：（1）cr+1≠0此時，滿足前r各方程的任意一個解，都不能滿足0=cr+1這個方程，所以②無解，所以①也無解當cr+1=0時，又分兩種情況：（2）r=n因為bii≠0,所以從最后一個方程可解出xn。然后代入第r-1個方程，解出xn-1。如此類推，可得出方程組②的xxx解，就是方程組①的xxx解。（3）r<n可把方程組該成他的同解方程組③：b11 x1+b12 x2+b13 x3+…+b1r xr=c1-b1,r+1 xr+1-…-b1n xnb22 x2+b13 x3+…+b2n xr=c2-b2,r+1 xr+1-…-b2n xn………………brr xr=cr-br,r+1 xr+1-…-brn xn設等號后面的數是已知數，按照（2）的方法來解，可解得：x1=d11 xr+1+d12 xr+2+…+d1,nr xnx2=d21 xr+1+d22 xr+2+…+d1,nr xn………………xr = dr1 xr + 1 + dr2 xr + 2 +… + dr, nr xn令自由未知量xr+i=ki(i∈N且i∈[1，n-r])可得方程組的全部解：x1=d11 k1+d12 k2+…+ d1,nr kn-rx2=d21 k1+d22 k2+…+d1,nr kn-r………………xr = dr1 k1 + dr2 k2 +… + dr, nr kn-rxr + 1 = k1xr+2=k2…………xn=kn-r

克萊姆法則（此法只適用于m=n且D≠0的方程組）設系數行列式D=∣a ij∣,Di是D把i列換成結果的行列式那么xi=Di/D(i∈N且i∈[1，n])矩陣和向量解法矩陣解法即把方程組①的增廣矩陣進行初等行變化。

一般地，n元一次方程就是含有n個未知數，且含未知數項次數是1的方程，一次項系數規定不等于0n元一次方程組就是幾個n元一次方程組成的方程組（一元一次方程除外）一元a次方程就是含有一個未知數，且含未知數項最高次數是a的方程（一元一次方程除外）一元a次方程組就是幾個一元a次方程組成的方程組（一元一次方程除外）n元a次方程就是含有n個未知數，且含未知數項最高次數是a的方程（一元一次方程除外）n元a次方程組就是幾個n元a次方程組成的方程組（一元一次方程除外）方程（組）中，未知數個數大于方程個數的方程（組）叫做不定方程（組），此類方程（組）一般有無數個解。

解法1：（兔的腳數×總只數－總腳數）÷（兔的腳數－雞的腳數）=雞的只數總只數－雞的只數=兔的只數解法2：（總腳數－雞的腳數×總只數）÷（兔的腳數－雞的腳數） =兔的只數總只數－兔的只數=雞的只數解法3：總腳數÷2—總頭數=兔的只數總只數—兔的只數=雞的只數解法4（方程）：X=總腳數÷2—總頭數（X=兔的只數）總只數—兔的只數=雞的只數解法5（方程）：X=（總腳數－雞的腳數×總只數）÷（兔的腳數－雞的腳數）（X=兔的只數）總只數—兔的只數=雞的只數解法6（方程）：X=（兔的腳數×總只數－總腳數）÷（兔的腳數－雞的腳數）（X=雞的只數）總只數－雞的只數=兔的只數

微分方程指描述未知函數的導數與自變量之間的關系的方程。微分方程的解是一個符合方程的函數。而在初等數學的代數方程，其解是常數值。詳見微分方程微分方程是將一些函數與其導數相關聯的數學方程。在應用中，函數通常表示物理量，衍生物表示其變化率，方程定義了兩者之間的關系。因為這種關系是非常常見的，微分方程在包括工程，物理，經濟學和生物學在內的許多學科中起著突出的作用。在純數學中，微分方程從幾個不同的角度進行研究，主要涉及到它們的解 - 滿足方程的函數集。只有最簡單的微分方程可以通過顯式公式求解；然而，可以確定給定微分方程的解的一些性質而不找到其確切形式。如果解決方案的自包含公式不可用，則可以使用計算機數值近似解決方案。動力系統理論強調了微分方程描述的系統的定性分析，而已經開發了許多數值方法來確定具有給定精確度的解決方案。

普通微分方程或ODE是包含一個獨立變量及其導數的函數的方程式。與“偏微分方程”相比，術語“普通”與對于多于一個的獨立變量相關。具有可以被加上和乘以系數的解的線性微分方程被明確定義和理解，并且獲得精確的閉合形式的解。相比之下，缺乏添加劑解決方案的ODE是非線性的，解決它們是非常復雜的，因為很少以封閉形式的基本函數表示它們：相反，ODE的精確和分析解決方案是串聯或整體形式。通過手動或計算機應用的圖形和數值方法可以近似ODE的解，并且可能產生有用的信息，通常在沒有精確的解析解的情況下就足夠了。

偏微分方程（PDE）是包含未知多變量函數及其偏導數的微分方程。 （這與處理單個變量及其派生詞的函數的普通微分方程相反）。PDE用于制定涉及幾個變量的函數的問題，或者手動解決或用于創建相關的計算機模型。PDE可用于描述各種各樣的現象，如聲，熱，靜電，電動力學，流體流動，彈性或量子力學。這些看似不同的物理現象可以在PDE方面類似地形式化。正如普通微分方程常常模擬一維動力學系統一樣，偏微分方程通常模擬多維系統。 PDEs在隨機偏微分方程中找到它們的泛化。