曲面

曲面（camber）可以看作空間滿足一定條件的點的幾何軌跡。如果曲面與方程F(x,y,z)=0滿足：①曲面上每一點坐標都滿足方程F(x,y,z)=0；②以滿足方程F(x,y,z)=0的解為坐標的點都在曲面上，則稱F(x,y,z)=0為曲面的方程，而稱曲面為此方程的圖形。曲面還可以使用參數方程進行表示。

曲面的歷史可以追溯到古代文明時期，阿波羅尼亞在總結前人的成就的基礎上，再加上自己的研究成果撰寫了《圓錐曲線論》8大卷，對于圓錐曲線的研究取得了一定得成就和造詣。古希臘數學家阿基米德（Archimedes）用窮竭法結合力學原理得出并證明了各種復雜的平面曲線圍成的面積和各種曲面的面積及其所圍成的體積，如拋物線弓形的面積、螺旋線下的面積，球和橢球的表面積與體積，以及圓錐曲線（橢圓，拋物線，雙曲線）的旋轉體的截體表面積與體積等計算公式。其在曲線的研究中取得了重要進展，他對拋物線和螺旋線的研究為曲面的理論打下了基礎。

到18世紀中葉，微分法和積分法得到充分發展，從那時起已經開始了對曲線和曲面理論的本質問題的研究。雖然空間中的曲線和曲面的許多問題與平面曲線相似，但深入研究后，它們逐漸超越了分析學在幾何的簡單應用，形成了獨立的曲線和曲面理論。18世紀后半葉，歐拉（Euler），蒙日（Monge）等數學家參與相關研究，其中歐拉被認為是曲面理論的創立者，并引入平面曲線的內在坐標和曲率概念。歐拉還深入研究了測地線，1736年證明了在無外力作用下，質點在曲面上的勻速運動必然沿測地線進行。這些工作對曲線和曲面理論的發展產生了深遠影響。

歐拉

1827年，高斯（Gauss）發表的《關于曲面的一般研究》奠定了曲面微分幾何的基礎，他發展了曲面理論的普遍方法和問題，并致力于全新的探討與研究。他建立了由xxx基本形式決定的曲面內在幾何，并強調了用參數形式描述曲面的重要性。此外，高斯首次認識到曲面面積與球面對應區域面積之比的極限重要性，并用它表示曲面在一點的曲率。這些貢獻對微分幾何的發展有深遠影響。

高斯

對于微分幾何的進一步發展，偉大的數學家波恩哈德·黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann）作了開創性的工作。黎曼在1851年的博士論文及阿貝爾函數的研究中指出，研究函數不可避免地需要依賴于位置分析學的一些定理。按照現代拓撲學的觀點，黎曼實際上已經對閉曲面按虧格分類。值得一提的是，他在學位論文中提出的關于某些函數的全體構成連通閉區域（空間點）的思想，是泛函思想的早期體現。實際上，在黎曼博士論文發表之前，組合拓撲學已有一些零散的研究成果，如歐拉關于閉凸多面體頂點、棱、面數之間關系的著名定理、哥尼斯堡七橋問題和四色問題，這些問題激發了對組合拓撲學（當時稱為位置幾何學或位置分析學）的深入研究。然而，拓撲學研究的xxx推動力來自于黎曼在復變函數論領域的工作。黎曼在1854年的演講中，將曲面視為獨立的幾何實體，而非僅作為歐氏空間中的實體。他認識到曲面上的二次微分形式（即黎曼測度）是外加的結構，而非固定屬性。這一發現開創了黎曼幾何，為微分幾何的進一步發展奠定了基礎。后續數學家如李西等人進一步豐富了經典黎曼幾何的內容。

波恩哈德·黎曼

如果曲面

與方程

滿足：①曲面

上每一點坐標都滿足方程

；②以滿足方程

的解為坐標的點都在曲面

上，則稱

為曲面

的方程，而稱曲面

為此方程的圖形。曲面

可以看作空間滿足一定條件的點的幾何軌跡。

示意圖

曲面在建筑學有著廣泛的應用，例如，三周期極小曲面（triply periodic minimal surfaces，TPMS）是一類特殊的曲面，也是存在于自然界中的一類結構，其可用于桁架結構的設計，利用三維靜力平衡，通過控制標準立方體的細分方式（六面體或四面體細分），構建受力圖與結構圖的對偶關系。通過將受力圖中的封閉單元和內部面分別對應于結構圖的節點和邊，從而得到如圖所示桿狀結構近似表達的 TPMS 結構。該方法同樣適用于變形的六面體單元。

稀疏細分得到桿結構單元

曲面在機械學中有著廣泛的作用，例如，主動式曲面打磨技術，只需要3~4遍即可完成岔區鋼軌的廓形打磨，通過磨石砂輪和紙砂輪的配合使用，可對道岔打受限區進行貫通打磨，顯著提高岔區的動態平順性。

曲面打磨車配備砂輪（最左側為紙砂輪,其余為磨石砂輪）

曲面在工程學中有著廣泛的作用，例如NURBS曲面在艦船垂向參數設計中具有重要的應用。首先通過NURBS曲面進行船體主尺度的計算，再利用NURBS曲面的控制點信息和三角面方程，通過約束條件得到船體各艙室的錘向參數以及結合船體曲面特征，然后對首位輪廓線控制點的參數和xxx橫剖面的參數進行分析，通過研究能發現船體各艙室的重向參數之間存在幾何上的耦合關系，結合上述方程式，垂向參數和橫向線條曲線間的幾何關系可通過NURBS曲面進行表達，因此可利用NURBS曲面生成船舶垂向參數曲面。

船體曲面特征線