在可計算性理論中，以 Wilhelm Ackermann 命名的阿克曼函數是非原始遞歸的總可計算函數的最簡單和最早發現的示例之一。 所有原始遞歸函數都是全函數和可計算的，但阿克曼函數說明并非所有可計算全函數都是原始遞歸函數。 在阿克曼發表他的函數（具有三個非負整數參數）之后，許多作者對其進行了修改以適應各種目的，因此今天的阿克曼函數可能指的是原始函數的眾多變體中的任何一個。

它的價值增長迅速，即使是小投入。 例如，A(4, 2) 是 19,729 位十進制數字的整數（相當于 265536?3，或 22222?3）。

在 20 年代后期，大衛希爾伯特的學生數學家加布里埃爾蘇丹和威廉阿克曼正在研究計算的基礎。 Sudan 和 Ackermann 都因發現了非原始遞歸的總可計算函數（在某些參考文獻中簡稱為遞歸）而受到贊譽。 蘇丹發表了鮮為人知的蘇丹函數，不久之后，阿克曼在 1928 年獨立發表了他的函數 φ {displaystyle varphi }（希臘字母 phi）。

（除了其作為完全可計算但非原始遞歸函數的歷史角色外，阿克曼的原始函數被視為將基本算術運算擴展到求冪之外，盡管不如阿克曼的變體那樣無縫 專門為此目的設計的函數——例如 Goodstein 的超操作序列。）

在 On the Infinite 中，David Hilbert 假設阿克曼函數不是原始遞歸，但實際上是 Hilbert 的私人秘書兼前學生 Ackermann 在他的論文 On Hilbert's Construction of the 實數。

Rózsa Péter 和 Raphael Robinson 后來開發了一個雙變量版本的阿克曼函數，幾乎成為所有作者的首選。

廣義超操作序列，例如 G ( m , a , b ) = a [ m ] b {displaystyle G(m,a,b)=a[m]b} ，也是阿克曼函數的一個版本。

許多其他版本的阿克曼函數已被調查。

阿克曼的原始三參數函數 φ ( m , n , p ) {displaystyle varphi (m,n,p)} 對于非負整數