對于描述動力系統的微分方程或差分方程的解，可以討論各種類型的穩定性。 最重要的類型是關于平衡點附近溶液的穩定性。 這可以用 Aleksandr Lyapunov 的理論來討論。 簡單來說，如果從平衡點 x e {displaystyle x_{e}} 附近開始的解永遠保持在 x e {displaystyle x_{e}} 附近，那么 x e {displaystyle x_{e}} 就是 李雅普諾夫穩定。 更強烈地，如果 x e {displaystyle x_{e}} 是李雅普諾夫穩定的，并且所有在 x e {displaystyle x_{e}} 附近開始的解收斂到 x e {displaystyle x_{e}} ，那么 x e { displaystyle x_{e}} 漸近穩定。 指數穩定性的概念保證了最小的衰減率，即估計解收斂的速度。 李雅普諾夫穩定性的思想可以擴展到無限維流形，稱為結構穩定性，它涉及微分方程的不同但鄰近的解的行為。 輸入到狀態穩定性 (ISS) 將 Lyapunov 概念應用于具有輸入的系統。

李雅普諾夫穩定性理論不適用于保守系統，例如不表現出漸近穩定性的受限三體問題。

李雅普諾夫穩定性以亞歷山大·米哈伊洛維奇·李亞普諾夫 (Aleksandr Mikhailovich Lyapunov) 的名字命名，他于 1892 年在哈爾科夫大學為論文“運動穩定性的一般問題”辯護。 通過與廣泛傳播的關于平衡點線性化局部方法的比較，研究非線性動力系統的穩定性。 他的作品最初以俄文出版，然后翻譯成法文，多年來很少受到關注。 由 A. M. Lyapunov 創立的運動穩定性數學理論xxx預見了其在科學技術中的應用時間。 此外，李亞普諾夫本人并沒有在這個領域進行應用，他自己的興趣在于天文應用中旋轉流體質量的穩定性。 他沒有從事穩定性研究的博士生，1917 年的俄國xxx使他的命運悲慘至極。幾十年來，穩定性理論完全被遺忘。 1930 年代在喀山航空研究所工作的俄蘇數學家和機械師 Nikolay Gur'yevich Chetaev 是xxx個意識到 A. M. Lyapunov 的驚人發現的人。 N. G. Chetaev 對理論的貢獻是如此重要，以至于許多數學家、物理學家和工程師都認為他是李亞普諾夫的直接繼承人，并且是穩定性數學理論創建和發展的下一代科學繼承人。

在冷戰時期，人們對它的興趣突然飆升，當時發現所謂的李雅普諾夫第二方法（見下文）適用于航空航天制導系統的穩定性，該系統通常包含其他方法無法處理的強非線性。 從那時起，控制和系統文獻中出現了大量出版物。最近，李雅普諾夫指數（與李雅普諾夫討論穩定性的xxx種方法相關）的概念在與混沌理論的聯系中受到了廣泛關注。 李雅普諾夫平衡定性方法也被應用于尋找交通分配問題的均衡解。

考慮一個自主非線性動力系統

x ˙ = f ( x ( t ) ) , x ( 0 ) = x 0 {displaystyle {dot {x}}=f(x(t)),;;; ;x(0)=x_{0}} ,

假設 f {displaystyle f} 在 x e {displaystyle x_{e}} 處有一個平衡，所以 f ( x e ) = 0 {displaystyle f(x_{e})=0} 然后

• 如果對于每個 ε > 0 {displaystyle epsilon >0} ，存在一個 δ >; 0 {displaystyle delta >0} 這樣
• 如果上述系統是李雅普諾夫穩定的并且存在 δ > ; 則稱上述系統的平衡是漸近穩定的。