物理和數學中的非完整系統是一種物理系統，其狀態取決于實現它所采用的路徑。 這樣的系統是由一組受到微分約束和非線性約束的參數來描述的，這樣當系統沿著其參數空間中的一條路徑（參數值連續變化）演化但最終又回到原始參數集時 路徑開始處的值，系統本身可能尚未返回到其原始狀態。 非完整力學是牛頓力學的獨立分支。

更準確地說，非完整系統，也稱為非完整系統，是其中存在控制參數的連續閉合回路的系統，通過該回路系統可以從任何給定狀態轉換為任何其他狀態。 因為系統的最終狀態取決于其通過參數空間的軌跡的中間值，所以系統不能用保守的勢函數來表示，例如，引力的平方反比定律。 后者是完整系統的一個例子：系統中的路徑積分僅取決于系統的初始狀態和最終狀態（位勢中的位置），完全獨立于這些狀態之間的過渡軌跡。 因此，系統被稱為可積的，而非完整系統被稱為不可積的。 當在非完整系統中計算路徑積分時，該值表示某個允許值范圍內的偏差，并且該偏差被稱為由所考慮的特定路徑產生的非整數。 該術語由海因里希·赫茲 (Heinrich Hertz) 于 1894 年引入。

非完整系統的一般特征是隱式相關參數。 如果隱含的依賴性可以被移除，例如通過提高空間的維度，從而至少添加一個額外的參數，系統不是真正的非完整系統，而是由低維空間簡單地不完全建模。 相反，如果系統本質上不能用獨立的坐標（參數）來表示，那么它就是一個真正的非完整系統。 一些作者通過區分所謂的系統內部狀態和外部狀態來充分利用這一點，但實際上，所有參數都是表征系統所必需的，無論它們代表內部過程還是外部過程，所以這種區別實際上是 人造的。 然而，遵守守恒原則的物理系統與不遵守守恒原則的物理系統之間存在著非常真實且不可調和的差異。 在球體上平行傳輸的情況下，區別很明顯：黎曼流形具有與歐幾里德空間根本不同的度量。 對于球體上的平行傳輸，隱式依賴是非歐幾里德度量所固有的。 球體的表面是一個二維空間。 通過提高維度，我們可以更清楚地看到度量的性質，但它基本上仍然是一個二維空間，其參數無法挽回地依賴于黎曼度量。

相比之下，可以將 X-Y 繪圖儀視為完整系統的示例，其中系統的機械組件的狀態對于繪圖筆的任何給定位置都將具有單一的固定配置。 如果筆在位置 0,0 和 3,3 之間重新定位，則該機構的齒輪將具有相同的最終位置，而不管該機構是否首先在 x 軸上遞增 3 個單位，然后在 x 軸上遞增 3 個單位。 y 軸，首先增加 Y 軸位置，或操作導致最終位置 3,3 的任何其他位置更改序列。 由于無論繪圖筆到達其新位置所采用的路徑如何，機器的最終狀態都是相同的，因此可以說最終結果不依賴于路徑。

如果我們用海龜繪圖儀代替，將筆從 0,0 移動到 3,3 的過程可能會導致機器人機構的齒輪根據在兩個位置之間移動的路徑而在不同的位置完成。 請參閱這個非常相似的龍門起重機示例，了解為什么這樣的系統是完整系統的數學解釋。

N. M. Ferrers 于 1871 年首次建議使用非完整約束來擴展運動方程。他根據廣義速度引入了笛卡爾速度的表達式。1877 年，E. Routh 編寫了帶有拉格朗日乘數的方程。 在他的《剛體的線性非完整約束》一書的第三版中，他引入了帶乘數的形式，現在稱為帶乘數的第二類拉格朗日方程。 Heinrich Hertz 于 1894 年引入了完整系統和非完整系統這兩個術語。1897 年，S. A. Chaplygin 首次建議建立不帶拉格朗日乘子的運動方程。