在數學中，拓撲空間 X {\displaystyle X} 中集合 S {\displaystyle S} 的極限點、累積點或簇點是可以用點近似的點 x {\displaystyle x} S {\displaystyle S} 的意義在于 x {\displaystyle x} 的每個鄰域關于 X {\displaystyle X} 上的拓撲也包含 S {\displaystyle S} 的一個點而不是 x {\displaystyle x} 本身。 集合 S {\displaystyle S} 的極限點本身不一定是 S 的元素。 {\displaystyle S.} 還有一個與序列密切相關的概念。 一個序列 ( x n ) n ∈ N {\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }} 在拓撲空間 X {\displaystyle X} 是一個點 x {\displaystyle x} 使得對于 x 的每個鄰域 V {\displaystyle V} , {\displaystyle x,} 有無限多個自然數 n {\displaystyle n} 使得 x n ∈ 訴。 {\displaystyle x_{n}\in V.} 這種序列的聚類或累積點的定義推廣到網絡和過濾器。

序列的極限點（分別為濾波器的極限點、網絡的極限點）的類似命名概念根據定義是指序列收斂到的點（分別為濾波器收斂到、網絡收斂 到）。 重要的是，盡管集合的極限點與集合的聚類/累積點同義，但對于序列（也不是網絡或過濾器）而言并非如此。 也就是說，術語序列的極限點與序列的聚類/積累點不是同義詞。

集合的極限點不應與附著點（也稱為閉合點）混淆，附著點 x {\displaystyle x} 的每個鄰域都包含 S {\displaystyle S} 的一個點（即任何點屬于 到集合的關閉）。 與極限點不同，S {\displaystyle S} 的附著點可能是 x {\displaystyle x} 本身。 極限點可以表征為不是孤立點的附著點。

集合的極限點也不應與邊界點混淆。 例如，0 {\displaystyle 0} 是集合 { 0 } {\displaystyle \{0\}} 在 R {\displaystyle \mathbb {R } } 標準拓撲。 然而，0.5 {\displaystyle 0.5} 是區間 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 在 R {\displaystyle \mathbb {R} } 具有標準拓撲（有關極限點的不那么簡單的示例，請參見xxx個標題）。

這個概念有益地概括了極限的概念，并且是諸如閉集和拓撲閉包等概念的基礎。 事實上，一個集合是封閉的，當且僅當它包含它的所有極限點，并且拓撲閉合操作可以被認為是通過將它與它的極限點聯合來豐富一個集合的操作。

設 S {\displaystyle S} 是拓撲空間 X 的子集。 {\displaystyle X.} X {\displaystyle X} 中的點 x {\displaystyle x} 是集合 S {\displaystyle S} 的極限點或聚點或累積點，如果 x { \displaystyle x} 包含 S {\displaystyle S} 的至少一個點不同于 x {\displaystyle x} 本身。

如果我們將條件限制為僅開放社區，這并沒有什么不同。 通常使用定義的開鄰域形式來證明一個點是極限點，并使用定義的一般鄰域形式從已知極限點導出事實通常很方便。

如果 X {\displaystyle X} 是一個 T 1 {\displaystyle T_{1}} 空間（比如度量空間），則 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 是 S 的一個極限點 {\displaystyle S} 當且僅當 x {\displaystyle x} 的每個鄰域都包含 S 的無限多個點。 {\displaystyle S.} 實際上，T 1 {\displaystyle T_{1}} 空間具有這個性質。

如果 X {\displaystyle X} 是 Fréchet–Urysohn 空間（所有度量空間和xxx可數空間都是），則 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 是 S {\ displaystyle S} 當且僅當 S ? { x } {\displaystyle S\setminus \{x\}} 中存在一系列點，其極限為 x 。 {\displaystyle x.} 事實上，Fréchet–Urysohn 空間具有這個性質。

S {\displaystyle S} 的極限點集稱為 S 的派生集。 {\displaystyle S.}

如果 x {\displaystyle x} 的每個鄰域都包含 S 的無限多個點，{\displaystyle S,} 那么 x {\displaystyle x} 是一種特定類型的極限點，稱為 S 的 ω-累積點。 {\displaystyle S.}

如果 x {\displaystyle x} 的每個鄰域包含 S 的無數個點，{\displaystyle S,} 那么 x {\displaystyle x} 是一種特定類型的極限點，稱為 S 的凝聚點。 {\displaystyle S.}

如果每個鄰域 U {\displaystyle U}。